Chủ đề này có 2 trả lời

[tjinderbaljeet]

Cho $0 \le a, b, c \le 1$. Chứng minh rằng
$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1} \le 2$

 

[Hoang Tung 126]

Không mất tính giả sử $a\geq b\geq c$$\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\leq \frac{b}{bc+1}+\frac{c}{bc+1}=\frac{b+c}{bc+1}$(1)

Mà $0\leq b,c\leq 1= > (1-b)(1-c)\geq 0= > bc+1\geq b+c= > \frac{b+c}{bc+1}\leq 1$(2)

Do $0\leq a,b,c\leq 1= > a\leq 1\leq 1+bc= > \frac{a}{bc+1}\leq 1$(3)

Từ (1),(2),(3) rồi cộng lại ta thu được đpcm

[Juliel]

Cho $0 \le a, b, c \le 1$. Chứng minh rằng
$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1} \le 2$

Giải bằng cách khác như sau.

Cố định các biến $b,c$, xem vế trái của BĐT là một hàm số theo biến $a$.

Đặt $VT=f(a)=f_1(a)+f_2(a)+f_3(a)$

Trong đó $f_1(a)=\frac{a}{bc+1}=\frac{a}{\alpha }$. Đây là một hàm số bậc nhất trên $\left [ 0,1 \right ]$ nên đồ thị của nó là một đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm có hoành độ bằng $0$ hoặc $1$, do đó nó chỉ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm đầu mút, tức là $a\in \left \{ 0,1 \right \}$.

     $f_2(a)=\frac{b}{ac+1}=\frac{\beta }{a+\gamma }$ là một hàm số có đồ thị là nhánh hyperbol nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất, có bề lõm quay lên nên nó chỉ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm đầu mút $a\in \left \{ 0,1 \right \}$

Tương tự thì $f_3(a)=\frac{c}{ab+1}=\frac{\delta }{a+\epsilon }$ cũng chỉ đạt giá trị lớn nhất tại $a\in \left \{ 0,1 \right \}$.

Suy ra $f(a)$ chỉ đạt giá trị lớn nhất tại $a\in \left \{ 0,1 \right \}$.

Trường hợp $a=0$ ta có $Max\;f(a)=b+c\leq 2$

Trường hợp $a=1$ ta có $Max\;f(a)=\frac{1}{bc+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}\leq \frac{1}{bc+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{bc+1}=\frac{b+c+1}{bc+1}$ mà dễ thấy $(b-1)(c-1)\geq 0\Rightarrow bc+1\geq b+c\Rightarrow 2bc+2\geq b+c+1\Rightarrow \frac{b+c+1}{bc+1}\leq 2\Rightarrow Max\;f(a)\leq 2$.

Ta có điều phải chứng minh.

 

Chú ý rằng  $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon$ là các hằng số dương.

 

 

Bài này hoàn toàn có thể tổng quát như sau :

$\frac{a_1}{a_2a_3...a_n+1}+\frac{a_2}{a_1a_3...a_n+1}+...+\frac{a_n}{a_1a_2...a_{n-1}+1}\leq n-1$ với $a_{i}\in \left [ 0,1 \right ],\forall i=1,2,...,n$. Cách giải hoàn toàn như trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 26-11-2013 - 16:13