ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP $9$ VÒNG $1$ NĂM HỌC $2013-2014$
Môn : Toán , thời gian : $150$ phút
Câu $1$ a) Cho biểu thức
$M=(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}): (\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x-2}}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6})$
Rút gọn $M$ và tìm $x$ sao cho $M$ nguyên
b) Tính giá trị biểu thức $P=3.x^{2013}+5.x^{2011}+2006$
Trong đó $x=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{18-8\sqrt{2}}}}}-\sqrt{3}$
Câu $2$ : Giải các phương trình sau
a) $(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=24$
b) $|2x-x^{2}-1|=2x-x^{2}-1$
Câu $3$ a) Cho hai số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})$
b) Cho $\sum \frac{1}{x+y}=6$ với $x,y,z$ là các số thực dương
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$\sum \frac{1}{3x+3y+2z}$
Câu $4$ : Cho đường tròn $(O,R)$ và hai đường kính $AB$ và $CD$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn này cắt $BC,BD$ lần lượt tại $E,F$ . Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AE,AF$, gọi $H$ là trung điểm của $OA$
a) Chứng minh $H$ là trực tâm của tam giác $BPQ$
b) Gọi $x$ là số đo góc $BFE$ , tìm vị trí hai đường kính $AB,CD$ sao cho $sin^{6}x+cos^{6}x$ đạt giá trị nhỏ nhất , tính giá trị đó
c) Chứng minh hệ thức $CE.DF.EF=CD^{3}$
d) Chứng minh hệ thức $\frac{BE^{3}}{BF^{3}}=\frac{CE}{DF}$
Câu $5$ , tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $n^{4}+n^{3}+1$ là số chính phương
Hết
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 27-11-2013 - 20:20