Chủ đề này có 14 trả lời

[bangbang1412]

                    ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP $9$ VÒNG $1$ NĂM HỌC $2013-2014$ 

                                               Môn : Toán , thời gian : $150$ phút 

Câu $1$ a) Cho biểu thức 

                  $M=(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}): (\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x-2}}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6})$

Rút gọn $M$ và tìm $x$ sao cho $M$ nguyên

b) Tính giá trị biểu thức $P=3.x^{2013}+5.x^{2011}+2006$

Trong đó $x=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{18-8\sqrt{2}}}}}-\sqrt{3}$

Câu $2$ : Giải các phương trình sau 

a) $(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=24$

b) $|2x-x^{2}-1|=2x-x^{2}-1$

Câu $3$ a) Cho hai số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y=1$

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})$

b) Cho $\sum \frac{1}{x+y}=6$ với $x,y,z$ là các số thực dương

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

                         $\sum \frac{1}{3x+3y+2z}$

Câu $4$ : Cho đường tròn $(O,R)$ và hai đường kính $AB$ và $CD$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn này cắt $BC,BD$ lần lượt tại $E,F$ . Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AE,AF$, gọi $H$ là trung điểm của $OA$

a) Chứng minh $H$ là trực tâm của tam giác $BPQ$

b) Gọi $x$ là số đo góc $BFE$ , tìm vị trí hai đường kính $AB,CD$ sao cho $sin^{6}x+cos^{6}x$ đạt giá trị nhỏ nhất , tính giá trị đó

c) Chứng minh hệ thức $CE.DF.EF=CD^{3}$

d) Chứng minh hệ thức $\frac{BE^{3}}{BF^{3}}=\frac{CE}{DF}$

Câu $5$ , tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $n^{4}+n^{3}+1$ là số chính phương

                                                          Hết 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 27-11-2013 - 20:20

[nguyentrungphuc26041999]

 

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})$

ta có 

$\left ( x^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )\geq \left ( xy+\frac{1}{xy} \right )^{2}$

$= \left ( xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy} \right )^{2}\geq \left ( \frac{1}{2}+\frac{15}{16xy} \right )^{2}=B$

$xy\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow B\geq \left ( \frac{1}{2}+\frac{15}{4} \right )^{2}=\frac{289}{16}$

[deathavailable]

                 

b) Cho $\sum \frac{1}{x+y}=6$ với $x,y,z$ là các số thực dương

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

                         $\sum \frac{1}{3x+3y+2z}$

 

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engel cho 4 số ta có

 

$ \sum \frac{1}{x+y}+ \frac{1}{x+y} \geq \frac{16}{3x+3y+2z}$

 

Tương tự $ \sum \frac{1}{x+y}+ \frac{1}{z+y} \geq \frac{16}{3x+3y+2x}$

 

 

Và $ \sum \frac{1}{x+y}+ \frac{1}{x+z} \geq \frac{16}{3x+3y+2y}$

 

 

Cộng lại ta được $max \sum \frac{1}{3x+3y+2z}= \frac{3}{2}$

 

PS: Ai vào xem hộ mình với, sao gõ latex mãi không được nhỉ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 27-11-2013 - 21:05

[nguyentrungphuc26041999]

b) Cho $\sum \frac{1}{x+y}=6$ với $x,y,z$ là các số thực dương

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

                         $\sum \frac{1}{3x+3y+2z}$

ta có

theo bđt cauchy-schwart 

$\sum \frac{1}{3x+3y+2z}\leq \frac{1}{16}\sum \left ( \frac{1}{x+y} +\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right )= \frac{3}{2}$

[nguyentrungphuc26041999]

Câu $2$ : Giải các phương trình sau 

a) $(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=24$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+9x+18 \right )\left ( x^{2}+9x+20 \right )= 24$

đặt $x^{2}+9x+19=y$ là xong

[bachhammer]

Mặc dù là đề THCS nhưng cũng hứng thú làm thử (câu 5 nhé): 

Với n = 1 thì ko thoả. Với n = 2 thì $2^{4}+2^{3}+1=25$ là số chính phương. Xét n > 2 thì dễ dàng chứng minh được bằng biến đổi tương đương: 

$(n^{2}+n-1)^{2}<n^{4}+n^{3}+1<(n^{2}+n)^{2}$

Mà đều này ko thể xảy ra với một số chính phương.

Kết luận n = 2.

[neversaynever99]

Hoặc dùng AM-GM:

$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{16}{3x+3y+2z}$(1)

Tương tự 

$\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{16}{3z+3y+2x}$(2)

$\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{16}{3x+3z+2y}$(3)

Từ (1);(2)&(3) ta có

$16\sum \frac{1}{3x+3y+2z}\leq 4\sum \frac{1}{x+y}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{3x+3y+2z}\leq \frac{3}{2}$

[neversaynever99]

2b

$\left | 2x-x^{2}-1 \right |=2x-x^{2}-1$

$\Rightarrow 2x-x^{2}-1\geq 0$

$hay(x-1)^{2}\leq 0$

Từ đó suy ra x=1 là nghiệm của pt đã cho

[nguyentrungphuc26041999]

b) Tính giá trị biểu thức $P=3.x^{2013}+5.x^{2011}+2006$

Trong đó $x=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{18-8\sqrt{2}}}}}-\sqrt{3}$

sau 1 hồi biến đổi ta thấy $x=1$

$P=2014$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 27-11-2013 - 20:52

[trantuananh9a]

ta có 

$\left ( x^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\left ( y^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )\geq \left ( xy+\frac{1}{xy} \right )^{2}$

$= \left ( xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy} \right )^{2}\geq \left ( \frac{1}{2}+\frac{15}{16xy} \right )^{2}=B$

$xy\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow B\geq \left ( \frac{1}{2}+\frac{15}{4} \right )^{2}=\frac{289}{16}$

giải trực tiếp

[nguyentrungphuc26041999]

 

b) $|2x-x^{2}-1|=2x-x^{2}-1$

Ta có $2x-x^{2}-1\leq 0$

$VT\geq 0$

$\Rightarrow x=1$

thử lại

[Hoang Thi Thao Hien]

 

 

a, Dễ thấy: $\widehat{DBC}= 90^{\circ}$. Do Q là trung điểm AF, O là trung điểm AB nên OQ là đường trung bình $\bigtriangleup ABF$ nên OQ // BF $\Rightarrow$ OQ $\perp$ BC mà AB  $\perp$ EQ nên O là trực tâm $\bigtriangleup BQE$ $\Rightarrow$ EO$\perp$BQ. Mà P là trung điểm AE, H là trung điểm OA nên PH là đường trung bình $\bigtriangleup EAO$ $\Rightarrow$PH$\perp$BQ$\Rightarrow$ H là trực tâm $\bigtriangleup BPQ$

b, Ta có: $sin^{2}x+cos^{2}x=1\Rightarrow (sin^{2}x+cos^{2}x)^{3}=1 \Rightarrow sin^{6}x+cos^{6}x+3sin^{2}xcos^{2}x(sin^{2}x+cos^{2}x)=1$$\Rightarrow sin^{6}x+cos^{6}x=1-3sin^{2}xcos^{2}x$

Áp dụng BĐT Cô-si: $sinxcosx\leq \frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{2}= \frac{1}{2}$$\Rightarrow 3cos^{2}xsin^{2}x\leq \frac{3}{4}$$\Rightarrow sin^{6}x+cos^{6}x\geq 1-\frac{3}{4}= \frac{1}{4}$...

c, Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$DF.BF= AF^{2}, CE.BE=AE^{2}, EF=\frac{BE.BF}{AB}$$\Rightarrow CE.DF.EF= \frac{AF^{2}}{BF}.\frac{AE^{2}}{EB}.\frac{BE.BF}{AB}=AB^{3}=CD^{3}$(đpcm)

d, Dễ thấy: AC$\perp$BE, AD$\perp$BF$\Rightarrow$$\frac{BE^{2}}{BF^{2}}= \frac{EA.EF}{AF.EF}=\frac{EA}{AF}\Rightarrow \frac{BE^{4}}{BF^{4}}= \frac{EA^{2}}{AF^{2}}=\frac{EA.EB}{DF.BF}\Rightarrow \frac{BE^{3}}{BF^{3}}= \frac{EC}{DF}$(đpcm)

[Hoang Tung 126]

Bài 2 :Câu a: $(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=24< = > (x^2+9x+18)(x^2+9x+20)=24$

Đặt $x^2+9x+18=a$ .PT $< = > a(a+2)=24< = > (a-4)(a+6)=0$

Đến đây giải là xong

[Hoang Tung 126]

Bài 2: Câu b: Xét 2 Th rồi phá trị tuyệt đối là xong

[hettien]

                    ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP $9$ VÒNG $1$ NĂM HỌC $2013-2014$ 

                                               Môn : Toán , thời gian : $150$ phút 

Câu $1$ a) Cho biểu thức 

                  $M=(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}): (\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x-2}}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6})$

Rút gọn $M$ và tìm $x$ sao cho $M$ nguyên

b) Tính giá trị biểu thức $P=3.x^{2013}+5.x^{2011}+2006$

Trong đó $x=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{18-8\sqrt{2}}}}}-\sqrt{3}$

Câu $2$ : Giải các phương trình sau 

a) $(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=24$

b) $|2x-x^{2}-1|=2x-x^{2}-1$

Câu $3$ a) Cho hai số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y=1$

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})$

b) Cho $\sum \frac{1}{x+y}=6$ với $x,y,z$ là các số thực dương

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

                         $\sum \frac{1}{3x+3y+2z}$

Câu $4$ : Cho đường tròn $(O,R)$ và hai đường kính $AB$ và $CD$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn này cắt $BC,BD$ lần lượt tại $E,F$ . Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AE,AF$, gọi $H$ là trung điểm của $OA$

a) Chứng minh $H$ là trực tâm của tam giác $BPQ$

b) Gọi $x$ là số đo góc $BFE$ , tìm vị trí hai đường kính $AB,CD$ sao cho $sin^{6}x+cos^{6}x$ đạt giá trị nhỏ nhất , tính giá trị đó

c) Chứng minh hệ thức $CE.DF.EF=CD^{3}$

d) Chứng minh hệ thức $\frac{BE^{3}}{BF^{3}}=\frac{CE}{DF}$

Câu $5$ , tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $n^{4}+n^{3}+1$ là số chính phương

                                                   

câu2 b nhân hai cái đầu và hai cái cuối lại với nhau rồi đặt ẩn để rút gọn bt là xong