Chủ đề này có 6 trả lời

[son98]

1. chúng minh với a,b >1 :
$\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\geq \frac{2\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}}$

 

2.cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}-bc}+\frac{b^{3}}{a^{2}+c^{2}-ac}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}-ab}\geq a+b+c$

 

[25 minutes]

1. chúng minh với a,b >1 :
$\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\geq \frac{2\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}}$

 

2.cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác, chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}-bc}+\frac{b^{3}}{a^{2}+c^{2}-ac}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}-ab}\geq a+b+c$

1, Biến đổi tương đương

2, Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn như sau

                       $\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$   (*)

Do $b^2+c^2-bc\geqslant b^2+c^2-\frac{b^2+c^2}{2}=\frac{b^2+c^2}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b^2+c^2-bc}\geqslant \frac{2a^3}{b^2+c^2}$

Chứng minh (*) Xét $\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2+ac^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab(a+b)}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có

                     $ab^2+bc^2+ca^2\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}$

                     $a^2b+b^2c+c^2a\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}$

$\Rightarrow \sum ab(a+b)\leqslant 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}}\geqslant \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

[son98]

 

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có

                     $ab^2+bc^2+ca^2\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}$

                     $a^2b+b^2c+c^2a\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leqslant \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}$

$\Rightarrow \sum ab(a+b)\leqslant 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}}}\geqslant \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}\geqslant \frac{a+b+c}{2}

chỗ này là $\sqrt{\frac{(a+b+c)^{3}}{3}}$ đúng ko bạn ???

[son98]

$b^2+c^2-bc\geqslant b^2+c^2-\frac{b^2+c^2}{2}=\frac{b^2+c^2}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b^2+c^2-bc}\geqslant \frac{2a^3}{b^2+c^2}$

mình nghĩ chỗ này của bạn bị nhầm dấu rồi, phải là

 $\frac{a^3}{b^2+c^2-bc}\leq\frac{2a^3}{b^2+c^2}$ 
Điều đó có nghĩa việc chứng minh chưa hoàn thành =[[

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi son98: 03-12-2013 - 12:43

[Hoang Tung 126]

Bài 2: Áp dụng bdt Bunhiacopxki có :$\sum \frac{a^3}{b^2-bc+c^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2+ac^2-abc}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum ab(a+b)-3abc}$

Do đó cần CM :$\frac{(\sum a^2)^2}{\sum ab(a+b)-3abc}\geq a+b+c< = > (\sum a^2)^2\geq (a+b+c).(\sum ab(a+b))-3abc(\sum a)< = > (\sum a^2)^2+3abc(\sum a)\geq (\sum a)(\sum ab(a+b))=\sum ab(a^2+b^2)+2\sum a^2b^2+2abc(\sum a)< = > \sum a^4+2\sum a^2b^2+3abc(\sum a)\geq \sum ab(a^2+b^2)+2\sum a^2b^2+2abc(\sum a)< = > \sum a^4+abc(\sum a)\geq \sum ab(a^2+b^2)$

  Nhưng bất đẳng thức này lại chính là BDT Schur bậc 4 

Do đó ta có đpcm .Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

[25 minutes]

mình nghĩ chỗ này của bạn bị nhầm dấu rồi, phải là

 $\frac{a^3}{b^2+c^2-bc}\leq\frac{2a^3}{b^2+c^2}$ 
Điều đó có nghĩa việc chứng minh chưa hoàn thành =[[

Mình không thấy nó sai ở đâu cả 

        $b^2+c^2-bc\geqslant b^2+c^2-\frac{b^2+c^2}{2}=\frac{b^2+c^2}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b^2+c^2-bc}\leqslant \frac{2a^3}{b^2+c^2}$

Sai ở đâu nhỉ ????????????????

[kfcchicken98]

Mình không thấy nó sai ở đâu cả 

        $b^2+c^2-bc\geqslant b^2+c^2-\frac{b^2+c^2}{2}=\frac{b^2+c^2}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b^2+c^2-bc}\leqslant \frac{2a^3}{b^2+c^2}$

Sai ở đâu nhỉ ????????????????

ở phần lời giải của bạn (lời giải đầu tiên) là$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \frac{2a^{3}}{b^{2}+c^{2}}$