Đề kiểm tra trường Đông toán học 2013
Ngày thi thứ hai: 28/11/2013
Thời gian làm bài 180 phút
1. Cho dãy số thực$(a_n)$ xác định bởi: $a_1 = \frac{1}{3} , a_2 = \frac{2}{7}$ và $a_{n+1} = \frac{1}{2} + \frac{a_n}{3} + \frac{a_{n-1}^2}{6}$
Chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó
2. Giải hệ phương trình
$ x(y+z) = x^2 + 2, y(z+x) = y^2 + 3, z(x+y) = z^2 + 4$
3. Cho ABC là tam giác nhọn. (I) là đường tròn nội tiếp có tâm là I, (O) là đường tròn ngoại tiếp tâm là O và M là trung điểm của đường cao AH, với H thuộc BC. (I) tiếp xúc với BC tại D. Đường thẳng MD cắt (I) tại điểm thứ hai P và đường thẳng qua I vuông góc MD cắt BC ở N. Đường thẳng NR, NS tiếp xúc (O) tương ứng tại R, S.
a) Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Chứng minh M, D, J thẳng hàng.
b) Chứng minh các điểm R, P, D, S thuộc cùng một đường tròn.
4. Cho n ≥ 2 là một số nguyên dương. Xét tập hợp các đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên từ điểm A(0; 0) đến điểm B(n; n). Một đường đi như thế sẽ tương ứng với một dãy gồm n lệnh T (lên trên) và n lệnh P (sang phải). Trong dãy đó, một cặp lệnh (T, P) kề nhau được gọi là một bước chuyển (lưu ý, cặp (P, T) không được gọi là bước chuyển). Ví dụ dãy PTTPTPPT có 2 bước chuyển. Hãy tìm số các đường đi ngắn nhất từ A đến B có đúng
a) 1 bước chuyển;
b) 2 bước chuyển;
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 29-11-2013 - 01:29
