Chủ đề này có 2 trả lời

[anhnhan10a1]

Cho $a,b,c$ là các số dương. Tim GTNN của biểu thức sau :

$$P=   a \left ( \frac{a}{2}   + \frac{1}{bc} \right) + b \left ( \frac{b}{2}   + \frac{1}{ac} \right)+c \left ( \frac{c}{2}   + \frac{1}{ab} \right)$$

[Hoang Tung 126]

Ta có theo bđt Bunhiacopxki có:$\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{6}$

Theo bđt AM-GM có :$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cộng theo vế $= > P\geq \frac{(a+b+c)^2}{6}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{6}+\frac{9}{a+b+c}=\frac{(a+b+c)^2}{6}+\frac{9}{2(a+b+c)}+\frac{9}{2(a+b+c)}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b+c)^2}{6}.\frac{81}{4(a+b+c)^2}}=3\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{9}{2}$

$= > P$ Min $=\frac{9}{2}$ $< = > a=b=c, a+b+c=3< = > a=b=c=1$

[1110004]

Cho $a,b,c$ là các số dương. Tim GTNN của biểu thức sau :

$$P=   a \left ( \frac{a}{2}   + \frac{1}{bc} \right) + b \left ( \frac{b}{2}   + \frac{1}{ac} \right)+c \left ( \frac{c}{2}   + \frac{1}{ab} \right)$$

Có thể làm đơn giản hơn như sau

$P=\frac{a^2}{2}+\frac{a}{2bc}+\frac{a}{2bc}+\frac{b^2}{2}+\frac{b}{2ac}+\frac{b}{2ac}+\frac{c^2}{2}+\frac{c}{2ab}+\frac{c}{2ab}\overset{AM-GM}{\geq }\frac{9}{2}$

 

$"="$ khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 29-11-2013 - 14:20