Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho $\Delta ABC$ có độ dài 3 cạnh là a,b,c .Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp $\Delta ABC$ .CMR :$a^2+b^2+c^2\leq 8R^2+4r^2$

[Hoang Tung 126]

Trước hết ta có các công thức sau :$r=4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$ , $sin^2A+sin^2B+sin^2C=2+2cosAcosBcosC$

                                                        $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$

BĐT $< = > 4R^2(sin^2A+sin^2B+sin^2C)\leq 8R^2+64R^2.sin^2\frac{A}{2}sin^2\frac{B}{2}sin^2\frac{C}{2}< = > sin^2A+sin^2B+sin^2C\leq 2+16sin^2\frac{A}{2}sin^2\frac{B}{2}sin^2\frac{C}{2}< = > 2+2cosAcosBcosC\leq 2+16sin^2\frac{A}{2}sin^2\frac{B}{2}sin^2\frac{C}{2}< = > cosAcosBcosC\leq 8sin^2\frac{A}{2}sin^2\frac{B}{2}sin^2\frac{C}{2}$

Mà $sin^2\frac{A}{2}sin^2\frac{B}{2}sin^2\frac{C}{2}=sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}tan\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}tan\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}tan\frac{C}{2}=\frac{sinA}{2}.\frac{sinB}{2}.\frac{sinC}{2}.tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}$

Do đó BĐT $< = > \frac{cosA}{sinA}.\frac{cosB}{sinB}.\frac{cosC}{sinC}\leq tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}< = > \frac{1}{tanA.tanB.tanC}\leq tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}< = > \frac{1}{tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}}\leq tanA.tanB.tanC< = > cot\frac{A}{2}cot\frac{B}{2}cot\frac{C}{2}\leq tanA.tanB.tanC< = > cotA+cotB+cotC\leq tanA+tanB+tanC$

(Hiển nhiên đúng do đây là bđt quen thuộc )

$= > ĐPCM$