(Mình không biết post đây có bị ban nick không, nhưng bài viết của mình chỉ chia sẽ bổ đề cho mọi người+ các bài toán ứng dụng thôi)
--Trong thời gian học quốc gia vừa qua, mình có một bổ đề (theo bản thân mình) cũng khá hay, và có vài bài toán ứng dụng nó (chắc nó cũng quen thuộc với mọi người thôi 
)
$\boxed{\text{Bổ đề}}$ Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$, H là trực tâm $\Delta DEF$. Khi đó $O,I,H$ cùng thuộc đường thẳng Euler của $\Delta DEF$ hay $O,I,H$ thẳng hàng
Chứng minh:
--Gọi $A_{1},B_{1},C_{1}$ lần lượt là giao điểm của $AI, BI, CI $ với (O)
-- Khi đó $A_{1},B_{1},C_{1}$ là điểm chính giữa cung BC,CA,AB theo thứ tự
=> $ A_{1}B=A_{1}I;C_{1}B=C_{1}I$=> $A_{1}C_{1}\perp IB$ mà $IB \perp DF$ => $A_{1}C_{1} || DF$
Tương tự $A_{1}B_{1} || DE$, $B_{1}C_{1} || EF$ => $\Delta DEF \sim \Delta A_{1}B_{1}C_{1}$ và I là
trực tâm $ \Delta A_{1}B_{1}C_{1}$
-- Gọi R, r lần lượt là bán kinh đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC
=> $\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{OA_{1}}=\frac{R}{r}\overrightarrow{ID} & & \\ \overrightarrow{OB_{1}}=\frac{R}{r}\overrightarrow{IE} & & \\ \overrightarrow{OC_{1}}=\frac{R}{r}\overrightarrow{IF} & & \end{matrix}\right.$
=>$\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}}=\frac{R}{r}(\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF})$
mà H là trực tâm tam giác DEF =>
$\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{IH}$
I là trực tâm tam giác$ \Delta A_{1}B_{1}C_{1}$ =>
$\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}}$=$\overrightarrow{OI}$
=> $\overrightarrow{OI}=\frac{R}{r}\overrightarrow{IH}$
=> O,I,H thẳng hàng hay O,I,H thuộc đường thẳng Euler của tg DEF (do I,H thuộc đt Euler này)
==========
Các bạn có cách chứng minh khác có thể post để mọi người tham khảo nha, trên là cách của mình 
$\boxed{\text{Problem}}$
G1: Cho tam giác ABC nhọn không cân ngoại tiếp đtròn (I). Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của đt (I) với $BC,CA,AB$. Gọi $A_{0}$ là điểm đối xứng với D qua EF và $A_{1}$ là giao điểm của $AA_{0}$ với đường thẳng BC. Các điểm $B_{1},C_{1}$ xác định tương tự. Chứng minh $A_{1},B_{1},C_{1}$ cùng nằm trên đưởng thẳng Euler của $\Delta DEF $
G2: Đường tròn nội tiếp $\Delta ABC $ tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CA lần lượt tại $K,M,N$. Gọi G là tâm đường tròn đi qua trung điểm các đoạn thẳng $MN,NK,KM$. Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp I và tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác ABC thẳng hàng với G
_________________________________________________________________
p/s: (hai bài này cho ta thêm một số các điểm nằm trên cái đường thẳng Euler của tam giác DEF trong bổ đề, đt này khá đặc biệt, mọi người có mở rộng gì khác về bổ đề này có thể post lên cho mọi người tham khảo 
)
