Chủ đề này có 4 trả lời

[Nesbit]

Kí hiệu:

$M^\top$ để chỉ ma trận chuyển vị của $M$,

$\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ là tập các ma trận vuông cấp $n$,

$\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ là tập các ma trận trực giao cấp $n$ (nghĩa là $MM^\top=I_n$),

$\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ là tập các ma trận nửa xác định dương bậc $n$ (nghĩa là $x^\top Mx \ge 0 \quad \forall x\in\mathbb{R}^n$). 

 

1. Cho $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Chứng minh hay bác bỏ sự tồn tại của

$$\max_{P,Q \in  \mathcal{O}_n(\mathbb{R})}\det(PAP^\top+QBQ^\top).$$

 

2. Cho $A_1,A_2,\ldots,A_k \in \mathcal{S}_2^+(\mathbb{R})$. Tính$$\max_{P_1,\ldots,P_k \in \mathcal{O}_2(\mathbb{R})}\det(P_1A_1P_1^\top+P_2A_2P_2^\top+\cdots+P_kA_kP_k^\top).$$

 

 

Câu hỏi mở:

 

3. Cho $A_1,A_2,\ldots,A_k \in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Tính$$\max_{P_1,\ldots,P_k \in  \mathcal{O}_n(\mathbb{R})}\det(P_1A_1P_1^\top+P_2A_2P_2^\top+\cdots+P_kA_kP_k^\top).$$

 

4. Cho $A_1,A_2,\ldots,A_k \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Tính$$\max_{P_1,\ldots,P_k \in  \mathcal{O}_n(\mathbb{R})}\det(P_1A_1P_1^\top+P_2A_2P_2^\top+\cdots+P_kA_kP_k^\top).$$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 12-12-2013 - 20:48
bổ sung kí hiệu

[1110004]

Kí hiệu $M^\top$ để chỉ ma trận chuyển vị của $M$.

 

1. Cho $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Chứng minh hay bác bỏ sự tồn tại của

$$\max_{P,Q \in  \mathcal{O}_n(\mathbb{R})}\det(PAP^\top+QBQ^\top).$$

 

Theo mình là không tồn tại (có sai bạn chỉ dạy thêm nha minh chưa rành lắm!!)

Với $A=B=I$ (với $I$ là ma trận đơn vị)

thì mình chọn được dãy các ma trận $P_n=Q_n=\begin{pmatrix}2^n & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... & 0\\ ... & ... &...  &... \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

lúc đó $det(P_nAP^{t}+QAQ^{t})\overset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}+\infty$ cho nên không tồn tại Max

câu 2 mình nghĩ cũng vậy (chưa thử) (hỏng hiểu cái $S^{+}_2(R)$ của bạn)

p/s: có sai gì hong bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 12-12-2013 - 18:06

[Mrnhan]

Theo mình là không tồn tại (có sai bạn chỉ dạy thêm nha minh chưa rành lắm!!)

Với $A=B=I$ (với $I$ là ma trận đơn vị)

thì mình chọn được dãy các ma trận $P_n=Q_n=\begin{pmatrix}2^n & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... & 0\\ ... & ... &...  &... \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

lúc đó $det(P_nAP^{t}+QAQ^{t})\overset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}+\infty$ cho nên không tồn tại Max

câu 2 mình nghĩ cũng vậy (chưa thử) (hỏng hiểu cái $S^{+}_2(R)$ của bạn)

p/s: có sai gì hong bạn?

 

Em thấy có ký hiệu này $P,Q \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$, mà em không hiểu nó có nghĩa gì mà anh ko sử dụng?

[Nesbit]

Chào các bạn,

Xin lỗi vì không nêu rõ trong đề bài (vì tưởng là quen thuộc).

 

$\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ là tập các ma trận trực giao cấp $n$ (nghĩa là $MM^\top=I_n$),

$\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ là tập các ma trận nửa xác định dương bậc $n$ (nghĩa là $x^\top Mx \ge 0 \quad \forall x\in\mathbb{R}^n$). 

 

Câu 1 có max.

[duongkhuyettam]

Câu 1/ 

 

Hàm $\varphi : \left ( P,Q \right ) \mapsto \text{det }(PAP^T+QAQ^T)$ từ compact $O_n (\mathbb{R}) \times O_n (\mathbb{R})$ vào $\mathbb{R}$, nên  $ \text{det }(PAP^T+QAQ^T)$ vốn thuộc $\mathbb{R}$  sẽ có MAX.

 

Nói rõ hơn, hàm $\varphi $ này rõ ràng được định nghĩa với mọi cặp $(P,Q) \in O_n (\mathbb{R}) \times O_n (\mathbb{R})$ và liên tục trên compact đó, suy ra tập giá trị của nó trên $\mathbb{R}$ cũng sẽ có tính compact, nên sẽ bị đóng chặn.

 

 

Câu 2/ câu này thực sự không dễ để đưa ra được giá trị chính xác cho giá trị Max, còn chưa nói đến câu 3, câu 4  . Anh Nesbit đưa đề này là đánh đố anh em rồi