Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $D$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$; $M,N$ lần lượt là tâm các đường tròn $(ABD),(ACD)$. Giả sử các điểm $B,C,M,N$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$. Chứng minh rằng: $\angle{DAO}=\angle{DAH}$
Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $D$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$; $M,N$ lần lượt là tâm các đường tròn $(ABD),(ACD)$. Giả sử các điểm $B,C,M,N$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$. Chứng minh rằng: $\angle{DAO}=\angle{DAH}$
......Không có việc gì là không thể.........
= ====== NVT ====== =
Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $D$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$; $M,N$ lần lượt là tâm các đường tròn $(ABD),(ACD)$. Giả sử các điểm $B,C,M,N$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$. Chứng minh rằng: $\angle{DAO}=\angle{DAH}$
Gọi $H$ là cân đường cao hạ từ $A$. Gọi $I$ là tâm ngoại tiếp đường tròn $(ABC)$
$T$ là giao điểm của $BM$ và $CN$.
Vì $B,D,C$ thẳng hàng, nên theo một bổ đề quen thuộc thì ta có
$\Delta ABM\sim \Delta ACN$
Suy ra các tứ giác $ABCT$ và $AMNT$ nội tiếp. Mà tứ giác $BMNC$ nội tiếp
Nên theo định lí về trục đẳng phương, ta có $AT,MN,BC$ đồng quy tại $K$
Và $\widehat{KAM}=\widehat{TNM}=\widehat{MBC}=\widehat{MDC}$ nên $AKBM$ nội tiếp
Và $AK,BC$ đối xứng nhau qua $MN$.
Ta có $\widehat{MAN}=\widehat{MTN}=\widehat{BAC}$
Và $IM\perp AB, IN\perp AC$ nên tứ giác $IMAN$ nội tiếp đường tròn $J$.
Ta có $IJ\perp AT$ và $IO\perp BC, OJ\perp MN$ nên
$(IO,OJ)=(CK,KM), (IJ,JO)=(MN,KA)$
Mặt khác theo tính chất đối xứng ta có $(CK,MN)=(MN,KA)$. Vậy $(IO,OJ)=(IJ,JO)$
Hay $IJ=IO=JA$.
Mặt khác ta có $\Delta AMN\sim \Delta ABC$ nên $(AJ,MN)=(AI,BC)$ (góc nhọn giữa hai đường thẳng)
Mà $MN\perp JO$ và $BC\perp IO$ nên ta có $\widehat{AJO}=\widehat{AIO}\rightarrow AJIO$ nội tiếp.
Mà $AJ=IO$ (chứng minh trên), nên $AJIO$ là hình thang cân, hay $AO//IJ$
Suy ra $AO\perp AT$
Nên $\widehat{DAO}=90^{\circ}-\widehat{DAK}=90^{\circ}-\widehat{KDA}=\widehat{DAH}$
(Do $AK$ và $BC$ đối xứng nhau qua $MN$ theo chứng minh trên)
Ta có Dpcm.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users