Chủ đề này có 2 trả lời

[haitienbg]

Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $D$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$; $M,N$ lần lượt là tâm các đường tròn $(ABD),(ACD)$. Giả sử các điểm $B,C,M,N$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$. Chứng minh rằng: $\angle{DAO}=\angle{DAH}$

 

[nguyenthehoan]

Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $D$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$; $M,N$ lần lượt là tâm các đường tròn $(ABD),(ACD)$. Giả sử các điểm $B,C,M,N$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$. Chứng minh rằng: $\angle{DAO}=\angle{DAH}$

Gọi $H$ là cân đường cao hạ từ $A$. Gọi $I$ là tâm ngoại tiếp đường tròn $(ABC)$

$T$ là giao điểm của $BM$ và $CN$.

Vì $B,D,C$ thẳng hàng, nên theo một bổ đề quen thuộc thì ta có

$\Delta ABM\sim \Delta ACN$

Suy ra các tứ giác $ABCT$ và $AMNT$ nội tiếp. Mà tứ giác $BMNC$ nội tiếp

Nên theo định lí về trục đẳng phương, ta có $AT,MN,BC$ đồng quy tại $K$

Và $\widehat{KAM}=\widehat{TNM}=\widehat{MBC}=\widehat{MDC}$ nên $AKBM$ nội tiếp

Và $AK,BC$ đối xứng nhau qua $MN$.

Ta có $\widehat{MAN}=\widehat{MTN}=\widehat{BAC}$

Và $IM\perp AB, IN\perp AC$ nên tứ giác $IMAN$ nội tiếp đường tròn $J$.

Ta có $IJ\perp AT$ và $IO\perp BC, OJ\perp MN$ nên 

$(IO,OJ)=(CK,KM), (IJ,JO)=(MN,KA)$

Mặt khác theo tính chất đối xứng ta có $(CK,MN)=(MN,KA)$. Vậy $(IO,OJ)=(IJ,JO)$ 

Hay $IJ=IO=JA$.

Mặt khác ta có $\Delta AMN\sim \Delta ABC$ nên $(AJ,MN)=(AI,BC)$  (góc nhọn giữa hai đường thẳng)

Mà $MN\perp JO$ và $BC\perp IO$ nên ta có $\widehat{AJO}=\widehat{AIO}\rightarrow AJIO$ nội tiếp.

Mà $AJ=IO$ (chứng minh trên), nên $AJIO$ là hình thang cân, hay $AO//IJ$

Suy ra $AO\perp AT$

Nên $\widehat{DAO}=90^{\circ}-\widehat{DAK}=90^{\circ}-\widehat{KDA}=\widehat{DAH}$

(Do $AK$ và $BC$ đối xứng nhau qua $MN$ theo chứng minh trên)

Ta có Dpcm.

[Ndtt]

Mục đích bài này là ta cm : DAO = 90 - BDA .
MN cắt BC tại S . T , T' là trung điểm MN , BC .
Do ATO = AT'O => OATT' là tgnt . Suy ra DAO = AOT = AT'T .
AT'T = ATS => AST'T là tgnt => AT'T = AST= BST ( do tg ADS cân tại S ) = 90 - BDA