Chủ đề này có 1 trả lời

[NTPS2CBC]

$a,b,c>0$, CM:

$\sum \frac{a+b}{a+7b+c}\geq \frac{2}{3}$

[NTPS2CBC]

$\sum \frac{a+b}{a+7b+c}\geq \frac{2}{3}\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{1}{12} \right )\geq \frac{5}{12}\Leftrightarrow \sum \frac{11a+5b-c}{a+7b+c}\geq 5$

Nếu $11a+5b-c,11b+5c-a,11c+5a-b\geq 0$ thì:

$\sum \frac{11a+5b-c}{a+7b+c}\geq \frac{\left [ \sum (11a+5b-c)^{2} \right ]}{\sum \left (11a+5b-c \right )\left ( a+7b+c \right )}=\frac{225\left (\sum a^2 \right )}{45a\sum a^{2}+90\sum ab}= 5$

Nếu một trong các số trên âm, giả sử $a/geq11b+5c$

$\frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{2}{3}= \frac{a-11b-2c}{3(a+7b+c)}> 0 \Rightarrow \sum \frac{a+b}{a+7b+c}\geq \frac{2}{3}$

 

Bản chất của bài này là ở số $\frac {1}{12}$

Giả sử số ta thêm vào là m:

$\sum \left (\frac{a+b}{a+7b+c}-m \right )=\sum \frac{(1-m)a+(1-7m)b-mc}{a+7b+c}$

$\geq \frac{\left [\sum \left [(1-m)a+(1-7m)b-mc \right ] \right ]^{2}}{\sum\left (a+7b+c \right )\left [(1-m)a+(1-7m)b-mc \right ] }$

$=\frac{(2m-9)^{2}(\sum a)^{2}}{(8-51m)\sum a^{2}+(10-30m)\sum ab}$

Để rút gọn được biểu thức, ta chọn m sao cho  $2(8-51m)=10-30m$ (cho cái mẫu nó ra bình phương)

$\Rightarrow m=\frac{1}{12}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTPS2CBC: 08-12-2013 - 18:25