Chủ đề này có 2 trả lời

[hochoidr]

Cho $x,y,z>0$ và thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sum \frac{x^2}{x+2y^2}$

[Ha Manh Huu]

$\frac{x^2}{x+2y^2}=x-\frac{2xy^2}{x+2y^2}\geq x-\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{xy^4}}=x-\frac{2}{3}\sqrt[3]{x^2y^2}$

ta lại có $3\sqrt[3]{xy.xy.1}\leq xy+xy+1\Rightarrow x-\frac{2\sqrt[3]{xy}}{3}\geq x-\frac{2}{9}(xy+xy+1)\Rightarrow \sum \frac{x^2}{x+2y^2}\geq x+y+z-\frac{2}{9}(2xy+2xy+2zx+3)$

và từ x+y+z=3 ta có $3\left (xy+yz+zx \right )\leq (x+y+z)^2\Rightarrow xy+yz+zx\leq 3\Rightarrow \sum \frac{x^2}{x+2y^2}\geq 3-\frac{2}{9}.9=1$

dấu = xảy ra khi x=y=z=1

[25 minutes]

Cho $x,y,z>0$ và thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sum \frac{x^2}{x+2y^2}$

Cách khác : Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

           $\sum \frac{x^2}{x+2y^2}=\sum \frac{x^4}{x^3+2x^2y^2}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^3+y^3+z^3+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh 

           $\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^3+y^3+z^3+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}\geqslant 1$

$\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\geqslant x^3+y^3+z^3$

BĐT trên có thể chứng minh bằng nhiều cách khác nhau 

- AM-GM : $\Leftrightarrow 3(x^4+y^4+z^4)\geqslant (x+y+z)(x^3+y^3+z^3)$

- Holder :$3(x^4+y^4+z^4)^3\geqslant (x^3+y^3+z^3)^4$ và $x^3+y^3+z^3 \geqslant 3$

.........................................

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$