Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc các cạnh $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Đường tròn $\omega_{1}$ qua $B,C$ tiếp xúc $(I)$ tại $K$, đường tròn $\omega_{2}$ qua $A,C$ tiếp xúc $(I)$ tại $L$, đường tròn $\omega_{3}$ qua $A,B$ tiếp xúc $(I)$ tại $M$.Chứng minh $DK,EL,FM$ đồng quy.
#2
Đã gửi 08-12-2013 - 13:08
BlackSelena
-
- Hiệp sỹ
-
- 1549 Bài viết
$\mathbb{Sayonara}$
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc các cạnh $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Đường tròn $\omega_{1}$ qua $B,C$ tiếp xúc $(I)$ tại $K$, đường tròn $\omega_{2}$ qua $A,C$ tiếp xúc $(I)$ tại $L$, đường tròn $\omega_{3}$ qua $A,B$ tiếp xúc $(I)$ tại $M$.Chứng minh $DK,EL,FM$ đồng quy.
Bổ đề: Cho $(O)$ và 1 đường thẳng $d$ cố định. Từ một điểm $M$ bất kì trên $d$ kẻ 2 tiếp tuyến $MA,MB$ xuống $(O)$ thì có $AB$ đi qua điểm cố định. Cái này dễ c/m thui 
.
Với bài toán:
Tiếp tuyến tại $K$ của $\omega_{1}$ và cũng đồng thời tại $(I)$ cắt $BC$ tại $A_1$.
Ta có $A_1B.A_1C = A_1K^2 = A_1D^2$ nên $A_1$ nằm trên trục đẳng phương của $(O)$ và $(I)$.
Dựng $B_1, C_1$ tương tự thì ta cũng có những điều trên.
Vậy $\overline{A_1,B_1,C_1} \perp OI$. Và áp dụng bổ đề trên ta có điều phải chứng minh $\ \square$
À bài này còn một mở rộng nữa. Gọi $A'$ là giao điểm của $\omega_{2}$ và $\omega_{3}$, tương tự có $B',C'$. Khi đó $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $X$ với $X$ là điểm đồng quy của $DK,EL,FM$. Tóm lại ta có 6 đường đồng quy lận 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 08-12-2013 - 13:08
- henry0905, yeutoan11, LNH và 5 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 14-12-2013 - 01:38
BlackSelena
-
- Hiệp sỹ
-
- 1549 Bài viết
$\mathbb{Sayonara}$
À bài này còn một mở rộng nữa. Gọi $A'$ là giao điểm của $\omega_{2}$ và $\omega_{3}$, tương tự có $B',C'$. Khi đó $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $X$ với $X$ là điểm đồng quy của $DK,EL,FM$. Tóm lại ta có 6 đường đồng quy lận
Chứng minh nốt mở rộng, ta chứng minh $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy tại $P$
$C_3$ là giao điểm của $C_2C_0$ với $(\omega_2)$, tương tự có $B_3$
Do $OC_3 \parallel IC_0, OB_3 \parallel IB_0$, kết hợp với $P \equiv C_0C_3 \cap B_0B_3$ nên dễ có $B_0C_0 \parallel B_3C_3$
Mà $B_2C_2B_0C_0:tgnt$ nên $B_2C_2B_3C_3:tgnt$
$\Rightarrow PC_2.PC_3 = PB_3.PB_2$
$\Rightarrow P_{P/ \omega_2 } = P_{P / \omega_3}$
$\Rightarrow P \in AA_1$.
Hoàn toàn tương tự, ta có điều phải chứng minh $\ \square$
6 đường đồng quy lận =D>
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 14-12-2013 - 01:40
- LNH, Strygwyr, etucgnaohtn và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
