Chủ đề này có 2 trả lời

[henry0905]

Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp $(O)$ và trực tâm $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là điểm đối xứng của $A,B,C$ qua $BC,CA,AB$. Chứng minh $D,E,F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OH=2R$.

[haitienbg]

Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp $(O)$ và trực tâm $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là điểm đối xứng của $A,B,C$ qua $BC,CA,AB$. Chứng minh $D,E,F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OH=2R$.

Bài toán quen thuộc: $D,E,F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $cosA.cosB.cosC=-\frac{3}{8}$ (hình như cm có trong $Olympic 30-4- 2012$)

và $OH^2=R^2(1-8cosA.cosB.cosC)$ , với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

(đây là phương tích của trực tâm $H$ với $(O)$ --- chứng minh khá đơn giản)

Từ hai điều trên có DPCM~~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haitienbg: 08-12-2013 - 15:03

[haitienbg]

 

Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp $(O)$ và trực tâm $H$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là điểm đối xứng của $A,B,C$ qua $BC,CA,AB$. Chứng minh $D,E,F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OH=2R$.

Một cách giải khác như sau:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. $M,N,P$ là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$. Dựng tam giác $A'B'C'$ sao cho $A,B,C$ là trung điểm $B'C',C'A',A'B'$. Ta thấy ngay $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'B'C'$ và $G$ cũng là trọng tâm của tam giác này.Xét phép vị tự tâm $G$ tỉ số $-1/2$ biến các điểm $A,B,C,A',B',C',H$ thứ tự thành các điểm $M,N,P,A,B,C,G$.Do đó nó biến các điểm $D,E,F$ thành các điểm $D',E',F'$ là các điểm đối xứng của $M,N,P$ qua các cạnh tam giác $MNP$.Thấy ngay các điểm này là chân vuông góc kẻ từ $O$ xuống các cạnh tam giác $A'B'C'$.

Vậy $D,E,F$ thẳng hàng khi và chỉ khi $D',E',F$ thẳng hàng hay $O$ thuộc đường tròn $(A'B'C)$

$\Rightarrow OH=2R$

ĐPCM~~