Chủ đề này có 1 trả lời

[NTPS2CBC]

Cho $a,b,c \geq 0$, cm: $\sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+bc}\geq 6$

[Hoang Tung 126]

Theo mình nghĩ phải là CM :$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\geq 6$ chứ .

Ta có :$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}=\sum \frac{\left [ (a+b)^2 \right ]^2}{(a+b)^2(c^2+ab)}\geq \frac{\left [ \sum (a+b)^2 \right ]^2}{\sum (a+b)^2(c^2+ab)}\geq 6< = > \left [ \sum (a+b)^2 \right ]^2\geq 6\sum (a+b)^2(c^2+ab)< = > 2\sum a^4+2abc(\sum a)+\sum ab(a^2+b^2)\geq 6\sum a^2b^2$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì theo bdt Schur bậc 4 và AM-GM có :

 $2(\sum a^4+abc(\sum a))\geq 2\left [ \sum ab(a^2+b^2) \right ]\geq 2\left [ \sum ab.2ab \right ]=4\sum a^2b^2$

 $\sum ab(a^2+b^2)\geq \sum ab.2ab=\sum 2a^2b^2$

Cộng theo vế ta có đpcm .

Đẳng thức  xảy ra khi a=b=c