1/ Cho dãy giảm hệ số thực $(a_n)$, xét dãy tổng $\sum \varepsilon _n a_n$ , trong đó $\varepsilon _n \in \{-1,1\}$ với mọi $n$.
Chứng minh rằng, giả sử $\sum \varepsilon _n a_n$ hội tụ, thì $\lim_{n \to \infty}(\varepsilon _1+\varepsilon _2+...\varepsilon _n)a_n=0$
2/ Bây giờ cho dãy số thực $(b_n)$ tiến về 0 (khi $n \rightarrow \infty$). Chúng ta định nghĩa hàm $f$ từ $\mathbb{R}^{*}$ vào $\mathbb{R}$ như sau :
$$f(x)=\left\{\begin{matrix} \text{card } \{n\in \mathbb{N} \ \ /\ \ b_n\geqslant x\} & \text{khi} \ \ x>0 \\ -\text{card } \{n\in \mathbb{N} \ \ /\ \ b_n\leqslant x\} & \text{khi} \ \ x< 0 \end{matrix}\right.$$
a/ Chứng minh rằng $f(x)$ đã được định nghĩa tốt cho mọi $x$ khác $0$.
b/ Giả sử $\sum b_n$ hội tụ và dãy $(\left | b_n \right |)_n$ là dãy giảm.
Chứng minh hàm $\varphi (x)=\int_{-\infty}^{-x}f(t)dt \ \ + \int_{x}^{+\infty}f(t)dt $, được định nghĩa với mọi $x>0$,
hội tụ đến $\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ khi $x$ chạy đến 0.
3/ Đẳng thức đó còn đúng nữa không khi dãy $\sum b_n$ hội tụ nhưng $(\left | b_n \right |)_n$ không phải là dãy giảm ?
Kí hiệu : $\text {card } A$ là số phần tử của tập $A$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongkhuyettam: 13-12-2013 - 19:17
