Cho a,b,c là các số dương sao cho a+b+c = abc. Chứng minh rằng:
$\sum \sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}\geq 2\sqrt{3}$
Cho a,b,c là các số dương sao cho a+b+c = abc. Chứng minh rằng:
$\sum \sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}\geq 2\sqrt{3}$
áp dụng bđt minkowski $\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{9+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}\geq \sqrt{9+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ca}}$
do a+b+c=abc, suy ra $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$
suy ra $\sqrt{9+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ca}}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$
áp dụng bđt minkowski $\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{9+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}\geq \sqrt{9+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ca}}$
do a+b+c=abc, suy ra $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$
suy ra $\sqrt{9+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ca}}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$
Bạn cho mình dạng tổng quát và cách chứng minh bđt minkowski đk k?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RoyalMadrid: 16-12-2013 - 21:14
Bạn cho mình dạng tổng quát và cách chứng minh bđt minkowski đk k?
$\large \sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{\left ( a_{1}+...+a_{2} \right )^{2}+\left ( b_{1}+...+b_{n} \right )^{2}}$
CM thì chỉ cần bình phương thôi bạn!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Supermath98: 16-12-2013 - 21:23
$\large \sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{\left ( a_{1}+...+a_{2} \right )^{2}+\left ( b_{1}+...+b_{n} \right )^{2}}$
CM thì chỉ cần bình phương thôi bạn!
cái này không dễ đâu chỉ bình phương khi ít số thôi (2,3 biến) chứ nhiều biến lại khác
Chuyên Vĩnh Phúc
Chứng minh bđt Mincopxki:
*n=2 thì bình phương rồi chuyển vế là xong
*Giả sử bđt đúng với k =>$\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}+...+\sqrt{{a_{k}}^{2}+{b_{k}}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+...+{a_{k}})^{2}+(b_{1}+...+{b_{k}})^{2}}$
*Ta cần cm bđt đúng với n=k+1
$\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}+...+\sqrt{{a_{k+1}}^{2}+{b_{k+1}}^{2}} \geq \sqrt{(a_{1}+...+{a_{k}})^{2}+(b_{1}+...+{b_{k}})^{2}}+\sqrt{{a_{k+1}}^{2}+{b_{k+1}}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+...+a_{k+1})^{2}+(a_{1}+...+a_{k+1})^{2}}$
Vậy cm được hoàn thành
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh