2 replies to this topic

[songokucadic1432]

cho $\Delta ABC$ và $O\epsilon \Delta ABC$

nối OA cắt BC ở A1,OB cắt OC tại B1,OC cắt AB tại C1

Chứng minh:

1)$\frac{OA_{1}}{AA_{1}}+\frac{OB_{1}}{BB_{1}}+\frac{OC_{1}}{CC_{1}}=1$

2)$\frac{OA}{OA_{1}}+\frac{OB}{OB_{1}}+\frac{OC}{OC_{1}}\geq 6$

3)$\frac{OA}{OA_{1}}.\frac{OB}{OB_{1}}.\frac{OC}{OC_{1}}\geq 8$

THANK        

[doanlemanhtung191199]

Dùng diện tích

[sieucuong1998]

cho $\Delta ABC$ và $O\epsilon \Delta ABC$

nối OA cắt BC ở A1,OB cắt OC tại B1,OC cắt AB tại C1

Chứng minh:

1)$\frac{OA_{1}}{AA_{1}}+\frac{OB_{1}}{BB_{1}}+\frac{OC_{1}}{CC_{1}}=1$

2)$\frac{OA}{OA_{1}}+\frac{OB}{OB_{1}}+\frac{OC}{OC_{1}}\geq 6$

3)$\frac{OA}{OA_{1}}.\frac{OB}{OB_{1}}.\frac{OC}{OC_{1}}\geq 8$

THANK        

1. Đặt $S_{ABC}=S, S_{BOC}=S_1, S_{AOC}=S_2, S_{AOB}=S_3$ thì $S=S_1+S_2+S_3$.

Kẻ $AH\perp BC \left ( H\in BC \right ), OI\perp BC \left ( I\in BC \right )$

Khi đó $\frac{OA_{1}}{AA_{1}}=\frac{OI}{AH}=\frac{S_1}{S}$

Tương tự $\frac{OB_{1}}{BB_{1}}=\frac{S_2}{S}, \frac{OC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_3}{S}$

Suy ra $\frac{OA_{1}}{AA_{1}}+\frac{OB_{1}}{BB_{1}}+\frac{OC_{1}}{CC_{1}}=\frac{S_1+S_2+S_3}{S}=1 (Q.E.D)$.

2. Từ câu a có $\frac{OA_{1}}{AA_{1}}=\frac{S_1}{S}\Rightarrow \frac{OA_{1}}{AA_{1}-OA_{1}}=\frac{S_1}{S-S_{1}}\Leftrightarrow \frac{OA_{1}}{OA}=\frac{S_1}{S_2+S_3}$

hay $\Leftrightarrow \frac{OA}{OA_{1}}=\frac{S_2+S_3}{S_1} (1)$

Tương tự $\frac{OB}{OB_{1}}=\frac{S_1+S_3}{S_2}(2), \frac{OC}{OC_{1}}=\frac{S_1+S_2}{S_3}(3)$

Cộng $(1),(2),(3)$ vế theo vế cho ta

$$\frac{OA}{OA_{1}}+\frac{OB}{OB_{1}}+\frac{OC}{OC_{1}}=\left ( \frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_1}\right )+\left ( \frac{S_2}{S_3}+\frac{S_3}{S_2}\right )+\left ( \frac{S_3}{S_1}+\frac{S_1}{S_3}\right ) \geq 2+2+2=6 (Cauchy) $$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $S_1=S_2=S_3 \Leftrightarrow O$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

3. Từ câu b có $\frac{OA}{OA_{1}}=\frac{S_2+S_3}{S_1}\geq \frac{2\sqrt{S_{2} S_{3}}}{S_1} (1) (Cauchy)$

Tương tự $\frac{OB}{OB_{1}}\geq \frac{2\sqrt{S_{1} S_{3}}}{S_2} (2), \frac{OC}{OC_{1}}\geq \frac{2\sqrt{S_{1} S_{3}}}{S_3} (3)$

Nhân $(1),(2),(3)$ vế theo vế có

$$\frac{OA}{OA_{1}}.\frac{OB}{OB_{1}}.\frac{OC}{OC_{1}}\geq \frac{8 S_1 S_2 S_3}{S_1 S_2 S_3} = 8$$

Dấu $'='$ xảy ra khi và chỉ khi $S_1=S_2=S_3 \Leftrightarrow O$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

$\square$

Edited by sieucuong1998, 13-12-2013 - 23:30.