Chủ đề này có 2 trả lời

[songokucadic1432]

Cho 1 hình vuông có độ dài đường chéo là 1.Trên mỗi cạnh lấy 1 điểm bất kì rồi nối lại để được một tứ giác lồi 

chứng minh chu vi tứ giác này $\geq 2$

thank nhiều        

[Johan Liebert]

Kí hiệu như hình vẽ

 

Theo định lí Pytago ta có:

 

$EH=\sqrt{AE^2+AH^2} \geq \dfrac{AE+AH}{\sqrt{2}}$

 

Tương tự $EF \geq \dfrac{BE+BF}{\sqrt{2}} \\ FG \geq \dfrac{CF+CG}{\sqrt{2}} \\ HG \geq \dfrac{DG+HD}{\sqrt{2}}$

 

Cộng từng vế ta được : $EH+EF+FG+GH \geq \dfrac{AB+BC+CA+AD}{\sqrt{2}}=\dfrac{4AB}{\sqrt{2}}$

 

Dễ chứng minh $AB=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow P_{EFGH} \geq \dfrac{4AB}{\sqrt{2}}=2$

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi E,F,G,H lần lượt là trung điểm các cạnh tương ứng

 

[bengoyeutoanhoc]

còn có cách nữa dùng quy tắc $ n$ điểm

Gọi ..... như hình vẽ

Ta có $EF=2.AI, EH=2.IJ, GH=2.CK,EG=2.IK$ ( Áp dụng tính chất đường trung bình và trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Suy ra $P_{EFGH}=2 \left ( AI+IJ+JK+KC \right )\geq 2.AC=2$

 

Hình gửi kèm

•