Chủ đề này có 7 trả lời

[thukilop]

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN

HSG DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2013-2014

Ngày thi: 11-12/12/2013

_______________________________

 

Ngày thứ nhất

180 phút

$\boxed{\text{Câu 1: (5d)}}$

Một dãy số thực ($a_{n}$) thỏa mãn điều kiện:

$a_{1}=\frac{1}{2}$, $a_{k+1}=-a_{k}+\frac{1}{2-a_{k}},k=1,2....$ 

Chứng minh BĐT: 

$\left [ \frac{n}{2(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})}-1 \right ]^{n}\leq \left ( \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} \right )\left ( \frac{1}{a_{1}}-1 \right )\left ( \frac{1}{a_{2}}-1 \right )...\left ( \frac{1}{a_{n}}-1 \right )$

$\boxed{\text{Câu 2: (5đ)}}$

 Cho dãy số thực ($x_{n}$) xác định bởi;

 $x_{1}=2,x_{n+1}=ln(5+cosx_{n}-sinx_{n})+2014,n=1,2...$

Chứng minh dãy $x_{n}$ có giới hạn

$\boxed{\text{Câu 3: (5đ)}}$

$\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega $.Các tiếp tuyến với $\omega $ tại B và C gặp nhau tại T. Điểm S nằm trên tia BC sao cho $AS\perp AT$. Điểm $B_{1},C_{1}$ nằm trên tia ST (với $C_{1}$ nằm giữa $B_{1}$ và S) sao cho $B_{1}T=BT=C_{1}T$. Chứng minh các tam giác ABC và $AB_{1}C_{1}$ đồng dạng với nhau

$\boxed{\text{Câu 4: (5đ)}}$

 Mỗi đỉnh của một đa giác đều chín đỉnh được tô bởi 2 màu đỏ và xanh. Chứng minh luôn tồn tại hai tam giác đơn sắc đồng dạng, tức  là các tất cả các đỉnh cùng màu giống nhau và đồng dạng

-----------------------------------------------

Ngày thứ hai

180 phút

$\boxed{\text{Câu 5: (7đ)}}$

Xét n nguyên dương và hàm $f:Z\rightarrow Z$ thỏa mãn:

$f(x+y+f(y))=f(x)+ny$, với mọi x,y thuộc Z

Tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn điều kiện trên

$\boxed{\text{Câu 6: (7đ)}}$

Gọi $H_{1},H_{2},H_{3}$ lần lượt là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ A,B,C. Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với BC,CA,AB tại $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ tương ứng. Với $i=1,2,3$, gọi $P_{i}$ là điểm thuộc đường thẳng $H_{i}H_{i+1}$ ( ở đây $H_{4}=H_{1}$ ) sao cho $H_{i}T_{i}P_{i}$ là một tam giác cân nhọn với $H_{i}T_{i}=H_{i}P_{i}$. Chứng minh rằng ($T_{1}P_{1}T_{2}$), ($T_{2}P_{2}T_{3}$), ($T_{3}P_{3}T_{1}$) cùng đi qua một điểm

$\boxed{\text{Câu 7: (6đ)}}$

Xác định tất cả bộ ba các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $a^{2}+1$ và $b^{2}+1$ là các số nguyên tố thỏa mãn $(a^{2}+1)(b^{2}+1)=c^{2}+1$

---------Kết thúc--------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 13-12-2013 - 23:27

[BlackSelena]

$\boxed{\text{Câu 7: (6đ)}}$

Xác định tất cả bộ ba các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $a^{2}+1$ và $b^{2}+1$ là các số nguyên tố thỏa mãn $(a^{2}+1)(b^{2}+1)=c^{2}+1$

Bữa trước vừa làm bài này xong @@~

Không giảm tính tổng quát, giả sử $a \geq b$

Từ giả thiết thư 2 ta có $b^2(a^2+1) = (c-a)(c+a) (*)$
Do $a^2+1$ là số nguyên tố nên $\begin{bmatrix} a^2 + 1 | c-a (1)\\ a^2 + 1 | c+a (2) \end{bmatrix}$

$\bullet \text{TH1}$: $a^2 + 1 | c-a$

$\Rightarrow c \geq a^2+a+1$, thay vô $(*)$ có $b^2(a^2+1) \geq (a^2+1)(a+1)^2$

$\Rightarrow b \geq a+1$ (vô lý)

$\bullet \text{TH2}$: $a^2 + 1 | c+a$

$\Rightarrow c \geq a^2 - a + 1$, thay vô $(*)$ có $b \geq a-1$

Vậy $\begin{bmatrix} a=b\\ a=b+1 \end{bmatrix}$

Trường hợp $a=b$ dễ thấy vô lý.

Với $a - 1=b$ nên có 1 số chẵn và 1 số lẻ tr0ng $a$ và $b$

$\Rightarrow$ có 1 số chẵn và 1 số lẻ tr0ng $a^2+1$ và $b^2+1$

Không mất tổng quát, giả sử $\begin{bmatrix} a^2 + 1 = 2 \\ b^2+1 = 3 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow (a,b) = (1,2) , (2,1)$. Khi đó $c=3$

Kết luận.....

[haitienbg]

Câu 2:

Xét $f(x)=ln(5+cosx-sinx)+2014$

có $f'(x)= -\frac{cosx+sinx}{5+cosx-sinx}$

nên $abs(f'(x))= abs(\frac{cosx+sinx}{5+cosx-sinx}) \leq \frac{ \sqrt{2}}{5-\sqrt{2}} =q \leq 1$

Áp dụng nguyên lí ánh xạ co được đpcm~~

[haitienbg]

 

 

$\boxed{\text{Câu 3: (5đ)}}$

$\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega $.Các tiếp tuyến với $\omega $ tại B và C gặp nhau tại T. Điểm S nằm trên tia BC sao cho $AS\perp AT$. Điểm $B_{1},C_{1}$ nằm trên tia ST (với $C_{1}$ nằm giữa $B_{1}$ và S) sao cho $B_{1}T=BT=C_{1}T$. Chứng minh các tam giác ABC và $AB_{1}C_{1}$ đồng dạng với nhau

 

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Thấy ngay $AT,AM$ đẳng giác (tc quen thuộc) nên góc $BAT=MAC$

Ta có 

$\frac{TA}{TB}=\frac{sin ABT}{sin BAT}=\frac{sin BCA}{sin MAC}=\frac{MA}{MC}=\frac{TA}{TC_{1}}$

mà góc $ATS=AMS$ (do $TSAM:nt$)

nên hai tam giác $AMC,ATC_{1}$ đồng dạng

Mặt khác Có :$M,T$ thứ tự là trung điểm của $BC,B_{1}C_{1}$

Vậy đc dpcm~~

Hình gửi kèm

• 

[thukilop]

Câu 2:

Xét $f(x)=ln(5+cosx-sinx)+2014$

có $f'(x)= -\frac{cosx+sinx}{5+cosx-sinx}$

nên $abs(f'(x))= abs(\frac{cosx+sinx}{5+cosx-sinx}) \leq \frac{ \sqrt{2}}{5-\sqrt{2}} =q \leq 1$

Áp dụng nguyên lí ánh xạ co được đpcm~~

Đạo hàm lộn dấu rồi bạn ơi, phải là $f'(x)$= $\frac{-sinx+cosx}{5+cosx-sinx}$ chứ

[haitienbg]

$\boxed{\text{Câu 6: (7đ)}}$

 

Gọi $H_{1},H_{2},H_{3}$ lần lượt là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ A,B,C. Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với BC,CA,AB tại $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ tương ứng. Với $i=1,2,3$, gọi $P_{i}$ là điểm thuộc đường thẳng $H_{i}H_{i+1}$ ( ở đây $H_{4}=H_{1}$ ) sao cho $H_{i}T_{i}P_{i}$ là một tam giác cân nhọn với $H_{i}T_{i}=H_{i}P_{i}$. Chứng minh rằng ($T_{1}P_{1}T_{2}$), ($T_{2}P_{2}T_{3}$), ($T_{3}P_{3}T_{1}$) cùng đi qua một điểm

 

 

 

Làm tiếp câu hình:       Giả sử các điểm $P_{i}$ phân bố như hình vẽ... $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Nhận xét 1: Gọi $O_{1}$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AH_{2}H_{3}$ ta có $O_{1}$ là tâm $T_{2}P_{2}T_{3}$

HD: $O_{1}H_{2}$ là trung trực của $P_{2}T_{2}$

 

 

 

 

 

 

Nhận xét 2: Hai điểm $I,O_{1}$ đối xứng qua $T_{2}T_{3}$ (cái này dễ thôi chỉ cần biến đổi lượng giác chút là ra (gọi $M$ là giao $AI,T_{2}T_{3}$ cm $IM=1/2.IO_{1}$)

 

 

 

 

 

 

 

Áp dụng vào bài toán thấy ngay $O_{1}T_{1},O_{2}T_{2},O_{3}T_{3}$ cùng đi qua trung điểm $U$ của mỗi đường (dựa vào các hbh)

Do đó hai tam giác $O_{1}O_{2}O_{3};T_{1}T_{2}T_{3}$ đối xứng qua $U$.Lấy $V$ đối xứng $I$ qua $U$ được $V$ là tâm $(O_{1}O_{2}O_{3})$

Vậy các đường tròn đã cho cùng đi qua $V$.ĐPCM~~

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haitienbg: 15-12-2013 - 16:45

[haitienbg]

Đạo hàm lộn dấu rồi bạn ơi, phải là $f'(x)$= $\frac{-sinx+cosx}{5+cosx-sinx}$ chứ

Theo mình không lộn dấu đâu 

$cos'x=-sinx,sinx'=cosx$

[LNH]

$\boxed{\text{Câu 4: (5đ)}}$

 Mỗi đỉnh của một đa giác đều chín đỉnh được tô bởi 2 màu đỏ và xanh. Chứng minh luôn tồn tại hai tam giác đơn sắc đồng dạng, tức  là các tất cả các đỉnh cùng màu giống nhau và đồng dạng

 

Không mất tính tổng quát, giả sử số điểm tô màu đỏ nhiều hơn số điểm tô màu xanh

Vậy có ít nhất $C_{5}^{3}=10$ tam giác đơn sắc đỏ

Ta đặt cửu giác đều trên đường tròn và số đo mỗi cung nhỏ là 1 đơn vị

Các tam giác chỉ có thể có các bộ số đo 3 góc như sau: $\left ( 1,1,7 \right ),\left ( 1,2,6 \right ),\left ( 1,3,5 \right ) \right ),\left ( 1,4,4 \right ),\left ( 2,2,5 \right ),\left ( 2,3,4 \right ),\left ( 3,3,3 \right )$

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 2 tam giác có chung một bộ số đo góc trên.

Suy ra đpcm