2 replies to this topic

[doanlemanhtung191199]

Cho một đa giác lồi có chu vi bằng $1$.Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính $\frac{1}{4}$ chứa toàn bộ đa giác đó.

[Forgive Yourself]

Cho một đa giác lồi có chu vi bằng $1$.Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính $\frac{1}{4}$ chứa toàn bộ đa giác đó.

 

Gọi $A, B$ là hai điểm thuộc cạnh của đa giác sao cho $A,B$ chia biên đa giác thành hai đường gấp khúc có độ dài bằng nhau và bằng $\frac{1}{2}$.

 

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$. Vẽ hình tròn tâm $O$ bán kính $R=\frac{1}{4}$

 

Ta sẽ chứng minh hình tròn này chứa đa giác đã cho.

 

Thật vậy, giả sử tồn tại một điểm $M$ thuộc cạnh đa giác và $M$ nằm ngoài hình tròn $\left ( O;\frac{1}{4} \right )$

 

Khi đó $MA+MB\leq \frac{1}{2}$ (độ dài đường gấp khúc chứa điểm $M$)   ($1$)

 

Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O$. Ta có: $MA+MB=MA+AN\geq MN> 2R=\frac{1}{2}$   ($2$)

 

Vì ($1$) và ($2$) mâu thuẫn, suy ra điều phải chứng minh.

Attached Files

•  Untitled.jpg   30.04KB   3 downloads

Edited by Forgive Yourself, 14-12-2013 - 22:07.

[Forgive Yourself]

Cho một đa giác lồi có chu vi bằng $1$.Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính $\frac{1}{4}$ chứa toàn bộ đa giác đó.

 

Lấy điểm $A$ trên biên của đa giác. Lấy điểm $B$ trên biên đa giác sao cho $AB$ chia chu vi đa giác thành hai phần có độ dài mỗi phần bằng $\frac{1}{2}$.

 

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$. Giả sử $M$ là một điểm tùy ý thuộc biên hoặc miền trong đa giác, lấy $M'$ đối xứng với $M$ qua $O$.

 

Tứ giác $AMBM'$ là hình bình hành và $AM+MB<\frac{1}{2}$ mà $MM'<AM+MB \Rightarrow MM'<\frac{1}{2} \Rightarrow OM<\frac{1}{4}$ nên $M$ nằm trong đường tròn tâm $O$ bán kính $r=\frac{1}{4}$, suy ra $đpcm$