Chủ đề này có 2 trả lời

[Messi10597]

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau:

$u_{1}=4$ ; $u_{2}=14$ ; $u_{n+1}=5u_{n}-6u_{n-1}$  $\forall n\geq 2$

Chứng minh rằng với mọi n thì $u_{n}=-2^{n}+2.3^{n}$

[vuvanquya1nct]

CTTH $\Rightarrow u_{n+1}-2u_{n}=3(u_{n}-2u_{n-1})=3^2(u_{n-1}-2u_{n-2})$

                                 $=...=3^{n-1}(u_2-2u_1)=6.3^{n-1}=2.3^n$

suy ra $u_{n+1}=2u_{n}+2.3^n$     (1)

Lại phân tích tiếp $2.3^n=-4.3^n+2.3^{n+1}$  thay vào (1):

$u_{n+1}=2u_{n}-4.3^n+2.3^{n+1}$

$\Leftrightarrow u_{n+1}-2.3^{n+1}=2(u_{n}-2.3^{n})$

$=2^2(u_{n-1}-2.3^{n-1})=2^3(u_{n-2}-2.3^{n-2})$

$=...=2^n(u_1-2.3^1)=-2.2^n$

$\Rightarrow u_{n+1}=2.3^{n+1}-2.2^n$

$\Rightarrow u_{n+1}=2.3^{n+1}-2.2^n \Leftrightarrow u_n=2.3^n-2^n$   (DPCM)

Cách 2: Chứng minh theo quy nạp cho nhanh

[henry0905]

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau:

$u_{1}=4$ ; $u_{2}=14$ ; $u_{n+1}=5u_{n}-6u_{n-1}$  $\forall n\geq 2$

Chứng minh rằng với mọi n thì $u_{n}=-2^{n}+2.3^{n}$

Dùng công thức nghiệm của phương trình đặc trưng: $u_{n}=a.2^{n}+b.3^{n}$

Từ đó ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 2a+3b=4 & \\ 4a+9b=14 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1 & \\ b=2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow u_{n}=-2^{n}+2.3^{n}$