Chủ đề này có 1 trả lời

[Viet Hoang 99]

1/ Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Cmr: $IA.IB.IC\leq \frac{abc}{3\sqrt{3}}$

2/ Cho tam giác $ABC$ vuông ở $C$. Gọi $M;N$ là độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ $A$ và $B$, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp. Cmr: $\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}\leq \frac{3-2\sqrt{2}}{5}$

3/ Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O;R)$ và ngoại tiếp $(I;r)$. Cmr: $R\geq \sqrt{2}r$

[Oral1020]

$\oplus$ Ta có các công thức sau đây:
$r^2 = \dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$

$AC'=AB'=p-a$

$BC'=BA'=p-b$

$CB'=CA'=p-c$

$\oplus$.Ta có: $IA^2.IB^2.IC^2=[(r^2+(p-a)^2][r^2+(p-b)^2][r^2+(p-c)^2]=\prod [\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}+(p-a)^2] = \dfrac{\prod bc(p-a)}{p^3}=\dfrac{a^2b^2c^2(p-a)(p-c)(p-b)}{p^3} \le \dfrac{a^2b^2c^2}{27}$

Do $(p-a)(p-b)(p-c) \le \dfrac{(3p-a-b-c)^3}{27}=\dfrac{p^3}{27}$ (AM-GM)

$\Longrightarrow IA.IB.IC \le \dfrac{abc}{3\sqrt{3}}$