Chủ đề này có 1 trả lời

[legialoi]

Cho tam giác ABC, Phân giác BD, CE cắt nhau tại I. Góc $\widehat{BDE}=24^{\circ}, \widehat{CED}=18^{\circ}$ Tính các góc của tam giác ABC .

[yeutoan2604]

Cho tam giác ABC, Phân giác BD, CE cắt nhau tại I. Góc $\widehat{BDE}=24^{\circ}, \widehat{CED}=18^{\circ}$ Tính các góc của tam giác ABC .

HD:

Lấy $M$ đối xứng với $D$ qua $CE$

       $N$ đối xứng với $E$ qua $BD$

Suy ra $M,N$ thuộc $BC$

Gọi $I,O$ thứ tự là giao điểm của $ME$ và $BD$ ; $BD$ và $CE$

Ta có: $\widehat{ECB}+\widehat{DBC}=\widehat{BOE}$ (góc ngoài của tam giác $BOC$)

Mà $\widehat{EOB}$ cũng là góc ngoài của tam giác $DOE$ nên

$\widehat{EOB}=\widehat{BDE}+\widehat{CED}=24^{0}+18^{0}=42^{0}$

Và $BD,CE$ là các đường phân giác nên $\widehat{ECB}+\widehat{DBC}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}$

Do đó $\widehat{B}+\widehat{C}=42^{0}.2=84^{0}\Rightarrow \widehat{A}=180^{0}-84^{0}=72^{0}$

Mặt khác do $DM$ vuông góc với $CE$

Còn $\widehat{NDB}=\widehat{BDE}=24^{0}$( Vì $E,N$ đối xứng nhau qua $BD$)

$\Rightarrow \widehat{NDE}=2.24^{0}=48^{0}$

Vậy $\Rightarrow \widehat{MDN}=\widehat{MDE}-\widehat{NDE}=72^{0}-48^{0}=24^{0}$

Ta có $\widehat{MDN}=\widehat{NDB}=24^{0}$

$\Rightarrow$ $DN$ là tia phân giác của $\widehat{MDB}$

Chứng minh tương tự , ta có $\widehat{MEN}=30^{0}\Rightarrow \widehat{MIN}=2.\widehat{MEN}=60^{0}$( góc ngoài tam giác cân $NIE$)

Và $\widehat{EIB}=\widehat{BIN}=\frac{\widehat{EIN}}{2}=60^{0}$

Do đó $IN$ là phân giác $\widehat{BIM}$ hay $IN$ là phân giác ngoài của tam giác $MDI$

Như vậy $N$ là giao điểm của đường phân giác trong $DN$ và đường phân giác ngoài $IN$ của tam giác $MDI$

$\Rightarrow$ $N$ là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $MDI$ ứng với góc $\widehat{D}$

$\Rightarrow \widehat{CMD}=\widehat{EMN}=\frac{180^{0}-\widehat{DME}}{2}=\frac{180^{0}-72^{0}}{2}=54^{0}$

Vậy $\widehat{C}=180^{0}-2.\widehat{CMD}=180^{0}-108^{0}=72^{0}$

$\Rightarrow \widehat{B}=12^{0}$