Chủ đề này có 3 trả lời

[Mrnhan]

Tính:

 

$$L=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}\ln\left ( 1+\frac{i}{n^2} \right )$$

[duongkhuyettam]

Đặt $f(x)= ln(1+\frac{n+1-x}{n^2})$ $x \in [1,n+1]$. 

 

Thấy luôn $f$ giảm trên đoạn $[1,n+1]$ nên có bất đẳng thức :

 

$\int_{1}^{n+1} f(x)dx \leq \sum_{i=1}^{n} f(i) \leq f(1)+\int_{1}^{n+1} f(x)dx$

 

Giờ chỉ cần tính $I=\int_{1}^{n+1} f(x)dx$ là xong.

 

Rất đơn giản :

 

$$I=\int_{1}^{n+1}  ln(1+\frac{n+1-x}{n^2}) dx = \int_{1}^{n+1}  ln(n^2+n+1-x)dx - \int_{1}^{n+1}  ln(n^2)dx$$

 

$$=\int_{n^2}^{n^2+n}  ln(y)dy - nln(n^2)dx$$ (với cách đặt $y=n^2+n+1-x$)

 

$$=(ylny - y)|^{n^2+n}_{n^2} - nln(n^2)dx = n^2 ln(1+\frac {1}{n}) -n + n ln (1+\frac {1}{n})$$

 

$$=n^2 \left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{2.n^2} + O(\frac{1}{n^3}) \right) - n + n \left (\frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^2})  \right)$$

 

do khai triển hữu hạn tại $x=0$ của $ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+ O(x^3)$

 

$$I=\frac {1}{2} + O(\frac{1}{n})$$

 

Vậy $\text{lim}\sum_{i=1}^{n} \text{ln}(1+\frac{i}{n^2}) = \frac{1}{2}$

[Mrnhan]

Bạn cần dùng khai triển $Maclaurin$ là được:

 

$\sum_{i=1}^{n}\ln\left ( 1+\frac{i}{n^2} \right )\sim\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n^2}\sim \frac{1}{2}$

[duongkhuyettam]

Trời, đúng thật là mọi thứ đều có thể đơn giản hơn