4 replies to this topic

[ocean99]

Cho biểu thức: $A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}$, tử số có 2010 dấu căn, mẫu có 2009 dấu căn. Chứng minh A<$\frac{1}{4}$

[bengoyeutoanhoc]

Cho biểu thức: $A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}$, tử số có 2010 dấu căn, mẫu có 2009 dấu căn. Chứng minh A<$\frac{1}{4}$

Đặt $\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}=a$ (có 2010 dấu căn)

Suy ra $\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}=a^{2}-3$ (có 2009 dấu căn)

$\Rightarrow A= \frac{3-a}{6-a^{2}+3}=\frac{3-a}{(3-a)(3+a)}=\frac{1}{3+a}$

Dễ thấy $a> 1\Rightarrow A< \frac{1}{4}$

Edited by bengoyeutoanhoc, 17-12-2013 - 22:40.

[davidsilva98]

Đặt $\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}=x$(có 2009 dấu căn)

Ta cần chứng minh:$\frac{3-\sqrt{3+x}}{6-x}< \frac{1}{4} <=> (\sqrt{x+3}-1)(\sqrt{x+3}-3)< 0 <=> -2 < x <6$

mà x > -1 là đương nhiên. vậy ta cần cm: x < 6

[buiminhhieu]

Đặt $\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}=a$ (có 2010 dấu căn)

Suy ra $\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}=a^{2}-3$ (có 2009 dấu căn)

$\Rightarrow A= \frac{3-a}{6-a^{2}+3}=\frac{3-a}{(3-a)(3+a)}=\frac{1}{3+a}$

Dễ thấy $a> 1\Rightarrow A< \frac{1}{4}$

chỗ này phải chứng mih $a\neq 3$

[Forgive Yourself]

chỗ này phải chứng mih $a\neq 3$

 

Rõ ràng là $a\neq3$ rồi, không nhất thiết phải chứng minh nữa

Edited by Forgive Yourself, 18-12-2013 - 12:16.