Chủ đề này có 3 trả lời

[namlee]

$\int \frac{xdx}{x^{3}-1}$

tính nguyên hàm

[Thai Minh Nhut]

$\int \frac{xdx}{x^{3}-1}$

tính nguyên hàm

$\frac{x}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x^2+x+1}+\frac{C(2x+1)}{x^2+x+1}$

 

Quy đồng:

$x=x^2(A+2C)+x(A+B-C)+A-B-C$

Đồng nhất thức được $A=\frac{1}{3}; B=\frac{1}{2}; C=\frac{-1}{6}$

 

$I=\frac{1}{3}\int{\frac{dx}{x-1}}+\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x^2+x+1}}-\frac{1}{6}\int{\frac{(2x+1)dx}{x^2+x+1}}$

 

$I1=\int{\frac{dx}{x^2+x+1}}=\int{\frac{dx}{(x+1/2)^2+(\frac{\sqrt3}{2})^2}}$

 

Đặt $x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt3}{2}tant, dx=\frac{\sqrt3}{2}((tant)^2+1)dt$

 

$I1=\int{\frac{\frac{\sqrt3}{2}((tant)^2+1)dt}{\frac{3}{4}((tant)^2+1)}}=\frac{2}{\sqrt3}\int{dt}=\frac{2}{\sqrt3}arctan(\frac{2x+1}{\sqrt3})$

 

$I2=\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}}=\int{\frac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1}}=ln(x^2+x+1)$

$I=\frac{1}{2}ln|x-1|+\frac{1}{2}I1-\frac{1}{6}I2=\frac{1}{2}ln|x-1|+\frac{1}{\sqrt3}arctan(\frac{2x+1}{\sqrt3})-\frac{1}{6}ln(x^2+x+1)+C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thai Minh Nhut: 19-12-2013 - 17:20

[lavie]

Có cách nào ngắn hơn ở chổ tính $\int \frac{1}{x^{2}+x+1}$ không ạ?

[Thai Minh Nhut]

Có cách nào ngắn hơn ở chổ tính $\int \frac{1}{x^{2}+x+1}$ không ạ?

Tôi không có cách tốt hơn!