Chủ đề này có 1 trả lời

[Lugiahooh]

http://diendantoanho...t-z-và-x2y2z23/

 

Cho $x, y, z$ là các số không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức:

$$P=(x+2)(y+2)(z+2)$$

 

Khoảng tuần trước mình có xem topic trên, tự dưng lúc đó lại nghĩ nếu đổi điều kiện x,y,z chỉ cần không âm (thay vì là các số thực) thì bài toán có trở nên đơn giản hơn không, bài toán trên được đặt ra từ lí do đó. Bằng máy tính thì đã kiểm chứng được tồn tại $min P = 4 (2+sqrt{3})$ xảy ra khi $x=y=0; z= sqrt{3}$  song đó chỉ là dự đoán, mình vẫn chưa có được lời giải cho mình.

[25 minutes]

Cho $x, y, z$ là các số không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN của biểu thức:

$$P=(x+2)(y+2)(z+2)$$

Chắc bạn hình tượng hóa bài này rồi vì nó không quá khó như bạn nghĩ đâu, khi cho điều kiện $x,y,z$ không âm thì nó dễ đi rất nhiều

Dễ thấy $P=8+xyz+4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)$

Do $x,y,z \geqslant 0$ nên $\left\{\begin{matrix} xyz\geqslant 0\\ xy+yz+zx\geqslant 0 \\ x+y+z\geqslant \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{3} \end{matrix}\right.$

       $\Rightarrow P\geqslant 8+4\sqrt{3}=4(2+\sqrt{3})$

Đẳng thức xảy ra khi $(x,y,z)=(0,0,\sqrt{3})$ và hoán vị