Chủ đề này có 1 trả lời

[davidsilva98]

Tìm mối quan hệ của các cạnh tam giác ABC biết rằng:

$\frac{a.cosA+b.cosB+c.cosC}{a+b+c}=\frac{1}{2}$

(a,b,c là độ dài ba cạnh a=BC;b=AC;c=AB)

[Hoang Tung 126]

Ta có :$\frac{1}{2}=\frac{a.cosA+b.cosB+c.cosC}{a+b+c}=\frac{a.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+b.\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+c.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{a+b+c}=\frac{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4}{2abc(a+b+c)}< = > a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$

Theo bđt Schur bậc 4 có :$\sum a^4+abc\sum a\geq \sum ab(a^2+b^2)\geq 2\sum ab.ab=2\sum a^2b^2$

Dấu = xảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều