Chủ đề này có 5 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a,b,c và P là điểm bất kì nằm trong mặt phẳng .

 CMR :$\frac{PA.PB}{a.b}+\frac{PB.PC}{b.c}+\frac{PC.PA}{c.a}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 21-12-2013 - 17:46

[perfectstrong]

http://diendantoanho...e-5#entry421232

Xem bài 21.

[TMW]

Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a,b,c và P là điểm bất kì nằm trong mặt phẳng .

 CMR :$\frac{PA.PB}{a.b}+\frac{PB.PC}{b.c}+\frac{PC.PA}{c.a}\geq 1$

Gọi 0 là tọa vị của P trong mặt phẳng phức, gọi a,b,c tương ứng là tọa vị của A,B,C 

Ta có đẳng thức

$\frac{ab}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc}{(a-c)(a-b)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)} = 1$

Ta có: PA = $\left | a \right |$ tương tự với PB và PC

           AB = $\left | b-a\right |$ tương tự với AC và BC

Ta có:

$\left | \frac{ab}{(c-a)(c-b)} \right |+\left | \frac{ac}{(b-a)(b-c)} \right | + \left | \frac{bc}{(a-b)(a-c)} \right |\geq \left | \frac{ab}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc}{(a-c)(a-b)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)} \right |$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TMW: 25-12-2013 - 17:26

[Hoang Tung 126]

Gọi 0 là tọa vị của P trong mặt phẳng phức, gọi a,b,c tương ứng là tọa vị của A,B,C 

Ta có đẳng thức

$\frac{ab}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc}{(a-c)(a-b)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)} = 1$

Ta có: PA = $\left | a \right |$ tương tự với PB và PC

           AB = $\left | b-a\right |$ tương tự với AC và BC

Ta có:

$\left | \frac{ab}{(c-a)(c-b)} \right |+\left | \frac{ac}{(b-a)(b-c)} \right | + \left | \frac{bc}{(a-b)(a-c)} \right |\geq \left | \frac{ab}{(c-a)(c-b)}+\frac{bc}{(a-c)(a-b)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)} \right |$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bạn có thể nói rõ hơn không

[TMW]

Bạn có thể nói rõ hơn không

Ở đây ta dùng số phức để chứng minh bất đẳng thức trên

Ta chuyển biểu thức với độ dài các cạnh thành biểu thức với số phức

Nếu x là toạ vị của X, y là toạ vị của Y trong mặt phẳng phức thì XY = $\left | y-x \right |$

Vận dụng điều này với một đẳng thức quen thuộc ta có được một lời giải gọn

Bạn có thể tìm hiểu về số phức ở rất nhiều tài liệu

[Hoang Tung 126]

Ai giúp mình chứng minh bài này mà không dùng số phức được không