Cho x,y thuộc $[0;1]$;$x\geq y$.CM $y^{2}(x^{3}+y)+x^{2}\geq xy(x^{2}+y^{2}+1)$
Ta có $x^3y^2+y^3\geq2xy^2\sqrt{xy}$
nên cần cm:
$2y^2\sqrt{xy}+x \geq y(x^2+y^2+1)\Leftrightarrow (x-y)+2y^2\sqrt{xy}-y(x^2+y^2)\geq 0$
Mà $x-y \geq x^2(x-y)$
nên cần cm:
$x^2(x-y)+2y^2\sqrt{xy}-y(x^2+y^2) \geq 0\Leftrightarrow x(x-y)^2\geq y^2(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$
luôn đúng
Edited by haitienbg, 23-12-2013 - 19:26.
......Không có việc gì là không thể.........
= ====== NVT ====== =
Hơi nhọ 1 tí nhưng cũng đã sai :$x^{3}y^{2}\geq 2xy^{2}\sqrt{xy}$ .
Có 1 cách khá hay cho bài này:
Xét $f(x)=y^{2}x^{3}+y^{3}+x^{2}-x^{3}y-xy^{3}-xy$ với $0\leq y\leq x\leq 1$
Nế mà $f(x)'\geq 0$ thì hàm đồng biến $\Rightarrow f(x)\geq f(y)=y^{3}+y^{5}-2y^{4}\geq 0$ (vì $1\geq y$)
Còn nếu $f(x)< 0$ thì hàm nghịch biến $\Rightarrow f(x)\geq f(1)=(y-1)^{2}\geq 0$
Tóm lại đã cm xong.Dấu = có được khi $x=y=1;x=y=0$
Edited by luuvanthai, 22-12-2013 - 10:20.
Edited by luuvanthai, 22-12-2013 - 10:21.
Hơi nhọ 1 tí nhưng cũng đã sai :$x^{3}y^{2}\geq 2xy^{2}\sqrt{xy}$ .
Có 1 cách khá hay cho bài này:
Xét $f(x)=y^{2}x^{3}+y^{3}+x^{2}-x^{3}y-xy^{3}-xy$ với $0\leq y\leq x\leq 1$
Nế mà $f(x)'\geq 0$ thì hàm đồng biến $\Rightarrow f(x)\geq f(y)=y^{3}+y^{5}-2y^{4}\geq 0$ (vì $1\geq y$)
Còn nếu $f(x)< 0$ thì hàm nghịch biến $\Rightarrow f(x)\geq f(1)=(y-1)^{2}\geq 0$
Tóm lại đã cm xong.Dấu = có được khi $x=y=1;x=y=0$
Sr! mình viết thiếu
......Không có việc gì là không thể.........
= ====== NVT ====== =
0 members, 1 guests, 0 anonymous users