Chủ đề này có 7 trả lời

[Juliel]

Giải phương trình $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

[25 minutes]

Giải phương trình $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

Dễ thấy phương trình có nghiệm $x \in \left [ -2;2 \right ]$

Ta đặt $x=2\cos t,t \in \left [ 0,\pi \right ]$

Phương trình đã cho trở thành 

                    $8\cos^3t-6 \cos t=\sqrt{2(\cos t+1)}$

         $\Leftrightarrow \cos 3t=\cos \frac{t}{2}$

Giải phương trình lượng giác và loại nghiệm không phù hợp với vệc đặt ẩn phụ

[Juliel]

Dễ thấy phương trình có nghiệm $x \in \left [ -2;2 \right ]$

Ta đặt $x=2\cos t,t \in \left [ 0,\pi \right ]$

Phương trình đã cho trở thành 

                    $8\cos^3t-6 \cos t=\sqrt{2(\cos t+1)}$

         $\Leftrightarrow \cos 3t=\cos \frac{t}{2}$

Giải phương trình lượng giác và loại nghiệm không phù hợp với vệc đặt ẩn phụ

Em cũng làm như vậy nhưng em không hiểu dòng màu đỏ. 

[25 minutes]

Em cũng làm như vậy nhưng em không hiểu dòng màu đỏ. 

Bài này thì anh nghĩ đến đặt lượng giác trước khi nghĩ đến khoảng của $x$

Dễ thấy ĐKXD là $x \geqslant -2$

Xét $x > 2$, khi đó $f(x)=x^3-3x-\sqrt{x+2},x>2$

              $\Rightarrow f'(x)=3x^2-3-\frac{1}{2\sqrt{x+2}}>0$

              $\Rightarrow f(x) >f(2)=0$

Vậy với $x>2$ thì phương trình vô nghiệm, khi đó nếu có nghiệm thì sẽ thuộc $\left [ -2;2 \right ]$

[Simpson Joe Donald]

Giải phương trình $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

Trên $\mathbb C$ thì phương trình biến $z$ tham số thực $r$ là: $z^2-rz+1=0$ luôn có nghiệm $z\neq 0$. 

Do đó có phép đặt tốt $r=z+\frac{1}{z}$ với $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ còn $r=\sqrt{x+2}$. 

Từ đây rút ra $x=z^2+\frac{1}{z^2}$, thay vào phương trình thì được: 

$\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^3-3\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)=z+\frac{1}{z}$

Dẫn đến $\left(z^7-1\right)\left(z^5-1\right)=0$.



Đến đây đọc các căn đơn vị ra và chọn các căn với phần thực dương là có các nghiệm.

[Juliel]

Dễ thấy phương trình có nghiệm $x \in \left [ -2;2 \right ]$

Ta đặt $x=2\cos t,t \in \left [ 0,\pi \right ]$

Phương trình đã cho trở thành 

                    $8\cos^3t-6 \cos t=\sqrt{2(\cos t+1)}$

         $\Leftrightarrow \cos 3t=\cos \frac{t}{2}$

Giải phương trình lượng giác và loại nghiệm không phù hợp với vệc đặt ẩn phụ

Chỗ này là $cos3t=\pm cos\dfrac{t}{2}$ chứ anh nhỉ ? 

 

Bài này thì anh nghĩ đến đặt lượng giác trước khi nghĩ đến khoảng của $x$

Dễ thấy ĐKXD là $x \geqslant -2$

Xét $x > 2$, khi đó $f(x)=x^3-3x-\sqrt{x+2},x>2$

              $\Rightarrow f'(x)=3x^2-3-\frac{1}{2\sqrt{x+2}}>0$

              $\Rightarrow f(x) >f(2)=0$

Vậy với $x>2$ thì phương trình vô nghiệm, khi đó nếu có nghiệm thì sẽ thuộc $\left [ -2;2 \right ]$

 

Trên $\mathbb C$ thì phương trình biến $z$ tham số thực $r$ là: $z^2-rz+1=0$ luôn có nghiệm $z\neq 0$. 

Do đó có phép đặt tốt $r=z+\frac{1}{z}$ với $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ còn $r=\sqrt{x+2}$. 

Từ đây rút ra $x=z^2+\frac{1}{z^2}$, thay vào phương trình thì được: 

$\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^3-3\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)=z+\frac{1}{z}$

Dẫn đến $\left(z^7-1\right)\left(z^5-1\right)=0$.



Đến đây đọc các căn đơn vị ra và chọn các căn với phần thực dương là có các nghiệm.

Bài này cho HS lớp 10 thôi các đại ca ơi, dùng tới đạo hàm, số phức em không hiểu gì hết ~~

[Juliel]

Em có ý tưởng thế này :

Đầu tiên ta chỉ xét $x\leq 2$, điều kiện này cho phép ta đặt $x=2cost$

Ta được phương trình $cos3t=\pm cos\dfrac{t}{2}\qquad(2)$, phương trình này cho ta đúng $6$ nghiệm

Bây giờ trở lại phương trình $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}\qquad(*)$

Nếu ta bình phương hai vế của $(*)$ ta thu được phương trình $(1)$ có bậc 6, phương trình $(1)$ sẽ có tối đa 6 nghiệm. 

Do vậy $(*)$ cũng chỉ có tối đa $6$ nghiệm. Mà (2) cho ta đúng $6$ nghiệm nên trường hợp $x>2$ thì pt sẽ không còn nghiệm nào.

Thử trực tiếp $6$ nghiệm vừa tìm được, loại nghiệm không thỏa mãn thì ta được tập nghiệm của phương trình đã cho.

Không biết đúng không, mấy anh nhận xét giùm em với ---        

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 27-12-2013 - 15:15

[Phuong Thu Quoc]

Không cần dùng đến đạo hàm, xa xôi! để chứng minh pt có nghiệm $-2\leq x\leq 2$

$-2\leq x:ĐKXĐ$

Nếu $x> 2$ thì $x^{3}-3x=x\left ( x^{2}-4 \right )+x> x> \sqrt{x+4}$