Chứng minh: $(1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc} )^{3}$ ; với $a, b, c\geq 0$
Chứng minh: $(1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc} )^{3}$
#1
Đã gửi 27-12-2013 - 20:10
#2
Đã gửi 27-12-2013 - 21:19
$VT = 1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc \geq 1+3\sqrt[3]{abc} + 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}+abc$ (AM-GM)
$=(1+\sqrt[3]{abc})^{3} = VP$
- leduylinh1998 và Sored thích
#5
Đã gửi 28-12-2013 - 20:53
Có thể chứng minh bằng Côsi
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 3.\frac{1}{\sqrt[3]{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}$
$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geq 3.\frac{\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}$
Cộng vào vế với vế ta được
$3\geq 3.\frac{\sqrt[3]{abc}+1}{\sqrt[3]{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}$
Từ đó suy ra được $\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$
- Sored yêu thích
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
#6
Đã gửi 29-12-2013 - 13:51
đây là dạng của bất đẳng thức holder cho 3 số, có thể chứng minh theo cauchy như thê này:
bdt đã cho tương đương với:
$\sqrt[3]{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}\leq 1+\sqrt[3]{abc}$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{1}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}+ \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}\leq 1$ (*)
ma ta có:
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{1}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}\leq \frac{\sum \frac{1}{1+a}}{3}$ (1)
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}}\leq \frac{\sum \frac{a}{1+a}}{3}$ (2)
từ (1),(2) =====> (*) đúng
- Sored, nguyenductrong99, dodinhthang98 và 8 người khác yêu thích
#7
Đã gửi 03-04-2021 - 14:11
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh