Chủ đề này có 1 trả lời

[mai dsung]

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z\in \left [ 1,4 \right ] & & \\ x\geq y,x\geq z & & \end{matrix}\right.$, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   A=$\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

[25 minutes]

Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z\in \left [ 1,4 \right ] & & \\ x\geq y,x\geq z & & \end{matrix}\right.$, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   A=$\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

Trước hết ta cần sử dụng bất đẳng thức phụ sau

                               $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ với $ab \geqslant 1$

Ta có $A=\frac{1}{2+\frac{3y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Do $x \geqslant y$ nên $\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$

              $\Rightarrow A \geqslant \frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}+\frac{1}{2+\frac{3y}{x}}$

Đặt $t=\sqrt{\frac{x}{y}}\Rightarrow t \in \left [ 1;2 \right ]$

Và $A\geqslant \frac{2}{1+t}+\frac{1}{2+\frac{3}{t^2}}=\frac{2}{1+t}+\frac{t^2}{2t^2+3}=f(t)$

Đến đây khảo sát $f(t)$ trên $\left [ 1;2 \right ]$ ta có đpcm