Chủ đề này có 1 trả lời

[diepviennhi]

Tam giác ABC có tanA; tanB; tanC lập thành cấp số cộng. Chứng minh $cosA +cosC\leq \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

[LzuTao]

Tam giác ABC có tanA; tanB; tanC lập thành cấp số cộng. Chứng minh $cosA +cosC\leq \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

$\tan A; \tan B, \tan C$ lập thành cấp số cộng $\Rightarrow \tan A+\tan C=2\tan B\Leftrightarrow \frac{\sin\left ( A+C \right )}{\cos A\cos C}=2\cdot\frac{\sin\left ( A+C \right )}{\cos B}\\\Rightarrow \cos B=2\cos A\cos C\Leftrightarrow 2\cos B=\cos(A-C)$

Suy ra 3 góc $A, B, C$ nhọn vì nếu 1 trong 3 góc không nhọn thì không thoả $\cos B=2\cos A\cos C$

Ta có: $\left (\cos A+\cos C  \right )^2=\cos^2 A+\cos^2 C+2\cos A\cos C\\=\frac{\cos2A+\cos2C}{2}+1+\cos B\\=-\cos(B)\cos(A-C)+1+\cos B \\=-2\cos^2B+\cos B+1 \le \frac{9}{8}\\\Rightarrow \cos A+\cos C\le \frac{3\sqrt2}{4}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \cos B=\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 03-08-2015 - 14:45