Chủ đề này có 1 trả lời

[hi lucky]

Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$. CMR:

$\frac{1}{\sqrt{8^{a}+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^{b}+1}}+ \frac{1}{\sqrt{8^{c}+1}}\geq 1$

[25 minutes]

Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$. CMR:

$\frac{1}{\sqrt{8^{a}+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^{b}+1}}+ \frac{1}{\sqrt{8^{c}+1}}\geq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt và AM-GM ta có các bất đẳng thức sau 

                           $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geqslant (a^2+b^2+c^2)^2$

                           $a+b+c\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

                           $\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}$

Kếp hợp giả thiết 

 $\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leqslant 3\Rightarrow a+b+c\leqslant 3$

Sử dụng UCT ta có $\frac{1}{\sqrt{8^a+1}}+\frac{4\ln 2}{9}.a\geqslant \frac{1}{3}+\frac{4\ln 2}{9}$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại ta có

      $\sum \frac{1}{\sqrt{8^a+1}}+\frac{4\ln 2}{9}.(a+b+c)\geqslant 1+\frac{12\ln 2}{9}$

Do $a+b+c \leqslant 3$ $\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{8^a+1}}\geqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$