11 replies to this topic

[pdtienArsFC]

Đề chính thức          

1. a, Với mỗi số k nguyên dương, đặt:

$S_{k}=(\sqrt{2}-1)^k+(\sqrt{2}+1)^k$

C/m: Với mọi số nguyên dương m,n (m>n) thì:

$S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_{n}$

b, Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+ax+b$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a và b trong 3 số $\left | f(0) \right |,\left | f(1) \right |,\left | f(-1) \right |$ có ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{2}$.

2. GPT:

a, $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$.

b, $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\frac{x+3}{5}$.

3. Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ có a+b+c=3. Chứng mịnh $a^2+b^2+c^2\leq 5$.

4. Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A, đường cao AH. Gọi M,N là trung điểm của AH,CH.

a, C/m: BM vuông góc AN.

b, Gọi giao điểm của BM và AC là I. Tính $tan\widehat{ABI}$

c, Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho $BK=\frac{1}{2}BA$. Chứng minh: $\widehat{INK}=90^{0}$

5. Chi tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D sao cho CD=2.BD. So sánh $\widehat{BAD}$ và $\frac{1}{2}\widehat{CAD}$.                                                                         

[lahantaithe99]

Đề chính thức          

1. a, Với mỗi số k nguyên dương, đặt:

$S_{k}=(\sqrt{2}-1)^k+(\sqrt{2}+1)^k$

C/m: Với mọi số nguyên dương m,n (m>n) thì:

$S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_{n}$

 

$S_{m}=(\sqrt{2}-1)^m+(\sqrt{2}+1)^m$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}-1)^n.S_{m}=(\sqrt{2}-1)^{m+n}+(\sqrt{2}+1)^{m-n} & \\ (\sqrt{2}+1)^n.S_{m}=(\sqrt{2}-1)^{m-n}+(\sqrt{2}+1)^{m+n} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow ((\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n)S_{m}=(\sqrt{2}-1)^{m+n}+(\sqrt{2}+1)^{m-n}+(\sqrt{2}-1)^{m-n}+(\sqrt{2}+1)^{m+n}$

$\Leftrightarrow S_{n}.S_{m}=S_{m+n}+S_{m-n}$

[laiducthang98]

Đề chính thức          

b, $\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\frac{x+3}{5}$.

                                                                     

PTTĐ $<=> (x+3)(\frac{1}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}-\frac{1}{5})=0$

[laiducthang98]

Đề chính thức          

3. Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ có a+b+c=3. Chứng mịnh $a^2+b^2+c^2\leq 5$.

                                                                         

Từ đk ta có $\left\{\begin{matrix} (2-a)\geq 0 & & \\ (2-b)\geq 0& & \\ (2-c)\geq 0& & \end{matrix}\right.$ $=>(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0$

$=>(4-2b-2a+ab)(2-c)\geq 0$

$=>8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\geq 0$

$=>2(a+b+c)\geq 4+abc$

$=>2(a+b+c)\geq 4$. Dấu bằng xảy ra khi abc=0

Lại có : $9=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq a^2+b^2+c^2+4$ => $5\geq a^2+b^2+c^2$ $(đ.f.c.m)$

Dấu bằng xảy ra khi (a,b,c)=(2,1,0) và các hoán vị của chúng  

[lahantaithe99]

 

$=>2(a+b+c)\geq 4$. Dấu bằng xảy ra khi abc=0

Lại có : $9=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq a^2+b^2+c^2+4$ => $5\geq a^2+b^2+c^2$ $(đ.f.c.m)$

Dấu bằng xảy ra khi (a,b,c)=(2,1,0) và các hoán vị của chúng

Đề bài  người ta cho a+b+c=3 rồi mà bạn còn viết $2(a+b+c)\geq 4$

Hơn nữa cái phần mình tô đỏ của bạn mình không hiểu tại sao bạn làm đc như vậy???

[Viet Hoang 99]

Tham khảo thêm ở đây @@

[bengoyeutoanhoc]

Đề bài  người ta cho a+b+c=3 rồi mà bạn còn viết $2(a+b+c)\geq 4$

Hơn nữa cái phần mình tô đỏ của bạn mình không hiểu tại sao bạn làm đc như vậy???

laiducthang98 viết nhầm rồi,phải là $\Rightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 4$$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 4$ từ đó $\Rightarrow$ bước phía dưới bạn tô đỏ

Edited by bengoyeutoanhoc, 05-01-2014 - 21:58.

[bengoyeutoanhoc]

Đề chính thức          

2. GPT:

a, $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$.

                                                            

Phương trình vô tỉ..

Đặt $x^{2}+1=a$ ta có phương trình $a^{2}+3x=(x+3)a\Leftrightarrow a^{2}-ax+3x-3a=0\Leftrightarrow \Leftrightarrow (a-x)(a-3)\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=x & \\ a=3& \end{bmatrix}\Leftrightarrow x^{2}+1=9\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}$

[lahantaithe99]

lahantaithe99 viết nhầm rồi,phải là $\Rightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 4$$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 4$ từ đó $\Rightarrow$ bước phía dưới bạn tô đỏ

Đâu phải mình viết nhầm.Chẳng phải bạn laiducthang98 nói $2(a+b+c)\geq 4$ trong khi a+b+c=3 hay sao???

[lahantaithe99]

Bài 4

 Gọi giao điểm của BM và AN là P

Dễ chứng minh $\triangle BMH=\triangle ANH$$\triangle BMH=\triangle ANH$

$\Rightarrow \widehat{BMH}=\widehat{ANH}$

Do đó tứ giác MHNP nội tiếp

suy ra $\widehat{MPN}=180-\widehat{MHN}=90$ suy ra đpcm

b. Gọi AB=AC=a

Bạn dễ dàng tính được

$AH=\frac{a}{\sqrt{2}};BN=\frac{3a}{2\sqrt{2}};AN=\frac{\sqrt{5}a}{2\sqrt{2}}$

Chứng minh đc

$\triangle BPN\sim \triangle AHN\rightarrow \frac{BP}{AH}=\frac{BN}{AN}\rightarrow BP=\frac{BN.AH}{AN}=\frac{3\sqrt{10}a}{10}$

$BI=\frac{AB^2}{BP}=\frac{\sqrt{10}a}{3}$

Suy ra $AI=\frac{a}{3}$ (bàng Pitago)

Do đó $tan\widehat{ABI}=\frac{1}{3}$ 

[Super Fields]

   5. Chi tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D sao cho CD=2.BD. So sánh $\widehat{BAD}$ và $\frac{1}{2}\widehat{CAD}$.                                                                         

 

Xem hình:

Giải:

Kẻ phân giác $AM$ của $\widehat{CAD}$

$\widehat{ABC}< \widehat{ADC}$(Tính chất góc ngoài)

Mà $\widehat{ABC}< \widehat{ACB} \Rightarrow \widehat{ACD}< \widehat{ADC}\Rightarrow AC > AD\Rightarrow \frac{CM}{MD}= \frac{AC}{AD}> 1\Rightarrow CM>MD \Rightarrow 2CM >CD\Rightarrow CM>\frac{CD}{2}$ $(*)$

Lấy $N$ là trung điểm $CD$

 $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}CD=ND=DB & \\ CN=\frac{CD}{2} \end{matrix}\right.$

Từ $(*)$ $\Rightarrow CM>CN$, hay $N$ nằm giữa $C$ và $M$

$\Rightarrow  \widehat{CAN}< \widehat{CAM}$

Ta lại có : $\Delta ACN \sim \Delta ABD (AC=AB;\widehat{C}=\widehat{B};CN=DB)$

$\Rightarrow \widehat{CAN}=\widehat{BAD}$( c.g.t.ứ)

Vậy $\widehat{BAD}< \frac{\widehat{CAD}}{2}$

--------------

Kết thúc.

Edited by Super Fields, 05-01-2014 - 14:02.

[bengoyeutoanhoc]

Đâu phải mình viết nhầm.Chẳng phải bạn laiducthang98 nói $2(a+b+c)\geq 4$ trong khi a+b+c=3 hay sao???

 mình xin lỗi. Mình viết nhầm. Là laiducthang98 viết nhầm chứ không phải bạn! 

Haiz nói người khác viết nhầm mình lại viết nhầm chết thật!

 

Từ đk ta có $\left\{\begin{matrix} (2-a)\geq 0 & & \\ (2-b)\geq 0& & \\ (2-c)\geq 0& & \end{matrix}\right.$ $=>(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0$

$=>(4-2b-2a+ab)(2-c)\geq 0$

$=>8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\geq 0$

$=>2(a+b+c)\geq 4+abc$

$=>2(a+b+c)\geq 4$. Dấu bằng xảy ra khi abc=0

Lại có : $9=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq a^2+b^2+c^2+4$ => $5\geq a^2+b^2+c^2$ $(đ.f.c.m)$

Dấu bằng xảy ra khi (a,b,c)=(2,1,0) và các hoán vị của chúng

Phải là ${\color{Red} =>2(ab+bc+ca)\geq 4+abc =>2(ab+bc+ca)\geq 4}$ chứ ?