Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenxuanthai]

Cho $(G)$ là một nhóm của $ (C,+)$ sao cho với mọi $ x \in [0;1]; x+i x^2 \in G $

 

Chứng minh $ G=C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenxuanthai: 05-01-2014 - 16:52

[PT42]

Nhận xét:

1) $0 \epsilon G$ : Thật vậy cho x = 0 $\epsilon \left [ 0 ; 1 \right ]$ có $0 = 0 + i. 0^{2} \epsilon G$

2) $\forall x \epsilon G$ , vì (G, +) là một nhóm nên $2x = x + x \epsilon G$, $3x = x + 2x \epsilon G$.

Do đó dùng quy nạp chứng minh được $\forall x \epsilon G, \forall k \epsilon \mathbb{Z}^{+},$ $kx \epsilon G$.

3) $\forall x, y \epsilon G$, vì (G, +) là một nhóm nên $x, -y \epsilon G$ $\Rightarrow x + (-y) \epsilon G$ hay $x - y \epsilon G$

 

Giả sử a là một số thực dương bất kỳ. Đặt $\left\{\begin{matrix} k = \left [ (a + 1)^{2} \right ] + 1\\x = \frac{a}{k - \sqrt{k}} \\y = \frac{a}{\sqrt{k} - 1} \end{matrix}\right.$

$k = \left [ (a + 1)^{2} \right ] + 1$ nên k là số nguyên dương > 1 và $k > (a + 1)^{2}$ $\Rightarrow \sqrt{k} > a + 1$

$\Rightarrow a < \sqrt{k} - 1$ $\Rightarrow y = \frac{a}{\sqrt{k} - 1} < 1$

Vì $(\sqrt{k} - 1)^{2} = k + 1 - 2\sqrt{k} \geq 0$ nên $k - \sqrt{k} \geq \sqrt{k} - 1 > a$ $\Rightarrow x = \frac{a}{k - \sqrt{k}} < 1$

Từ đó có $x, y \epsilon \left [ 0; 1 \right ]$ nên theo giả thiết có $\left\{\begin{matrix} x + i.x^{2} \epsilon G\\y + i. y^{2} \epsilon G \end{matrix}\right.$

Áp dụng nhận xét trên $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k.(x + i.x^{2}) \epsilon G\\y + i. y^{2} \epsilon G \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow k.(x + ix^{2}) - (y + ky^{2}) \epsilon G$ hay $(kx - y) + i. (kx^{2} - y^{2}) \epsilon G$

Mà $kx - y$ = $\frac{ak}{k - \sqrt{k}} - \frac{a}{\sqrt{k} - 1}$ = $\frac{a\sqrt{k} - a}{\sqrt{k} - 1}$ = a

$kx^{2} - y^{2}$ = $\left ( \frac{a\sqrt{k}}{k - \sqrt{k}} \right )^{2} - \left ( \frac{a}{\sqrt{k} - 1} \right )^{2}$ = 0

Nên suy ra a $\epsilon$ G

Nếu a là số thực âm thì -a là số thực dương nên -a $\epsilon$ G, vì G là nhóm với phép cộng nên -(-a) $\epsilon$ G hay a $\epsilon$ G.

Ở trên đã chứng minh được 0 $\epsilon$ G

Từ đó suy ra $a \epsilon G$ với mọi số thực a.

 

Giả sử b > 0. Đặt $\left\{\begin{matrix} k = \left [ 2b \right ] + 1\\x = \sqrt{\frac{2b}{k}} \\y = \sqrt{\frac{b}{2k}} \end{matrix}\right.$

$k = \left [ 2b \right ] + 1$ nên k là số nguyên dương và k > 2b

$\Rightarrow \frac{b}{2k} < \frac{2b}{k} < 1$ $\Rightarrow x, y \epsilon \left [ 0; 1 \right ]$

Từ đó theo giả thiết có $\left\{\begin{matrix} x + ix^{2} \epsilon G\\y + iy^{2} \epsilon G \end{matrix}\right.$

Áp dụng nhận xét trên $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k.(x + ix^{2}) \epsilon G\\2k. (y + iy^{2}) \epsilon G \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left ( k. (x + ix^{2}) \right ) - 2k. \left ( y + i. y^{2} \right ) \epsilon G$ hay $k(x - 2y) + i. (kx^{2} - 2k. y^{2}) \epsilon G$

Mà $k.(x - 2y)$ = $k.\left ( \sqrt{\frac{2b}{k}} - 2.\sqrt{\frac{b}{2k}} \right )$ = 0

$kx^{2} - 2ky^{2}$ = $k. \frac{2b}{k} - 2k. \frac{b}{2k}$ = b

Nên suy ra $bi \epsilon G$

Nếu b < 0 thì -b > 0 nên $- bi\epsilon$ G, vì G là một nhóm nên -(-bi) $\epsilon$ G hay bi $\epsilon$ G.

$\Rightarrow bi \epsilon G$ với mọi số thuần ảo bi.

 

Giả sử z = a + bi là một số phức bất kỳ.  Theo trên có $\left\{\begin{matrix} a \epsilon G\\bi \epsilon G \end{matrix}\right.$

Vì G là một nhóm nên z = a + bi $\epsilon$ G

$\Rightarrow$ $\mathbb{C}$ chứa trong G hay G = $\mathbb{C}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 11-01-2014 - 16:21