Cho A là ma trận thực vuông cấp n.Giả sử có số tự nhiên m>n ,sao cho $A^{m}=0$,với 0 là ma trận không .Chứng minh $A^{n}=0$
#2
Đã gửi 19-01-2014 - 00:12
vo van duc
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 582 Bài viết
Thiếu úy
Cho A là ma trận thực vuông cấp n.Giả sử có số tự nhiên m>n ,sao cho $A^{m}=0$,với 0 là ma trận không .Chứng minh $A^{n}=0$
Giả sử $p(x)$ là đa thức tối thiểu của ma trận $A$. Khi đó, bậc của $p(x)$ nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Ta có $A^m=O$ nên suy ra $q(x)=x^m$ với $m> n$ là đa thức triệt tiêu của ma trận $A$. Mà đa thức tối thiểu $p(x)$ là một ước của đa thức triệt tiêu $q(x)$ nên $p(x)=x^k$ với $k\leq n$
Như vậy, tồn tại một số tự nhiên $k\leq n$ sao cho $A^k=O$ nên suy ra $A^n=O$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 19-01-2014 - 00:12
Võ Văn Đức 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
