Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$ . Tìm GTNN $P=\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^2}}$
$P=\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^2}}$
#1
Đã gửi 06-01-2014 - 22:50
#2
Đã gửi 06-01-2014 - 23:03
Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$ . Tìm GTNN $P=\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^2}}$
Chỗ này là 2 hay 3 vậy bạn
#3
Đã gửi 07-01-2014 - 00:04
Nếu là 3 thì mình xin trình bày cách này. Mọi người góp ý thêm nhé.
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
$\Rightarrow a+b+c\geq 3;\sum ab\sqrt{ab}\geq 3$ (Vì abc=1)
$P^{2}=\left ( \sum \frac{a^{3}}{\sqrt{1+b^{2}}} \right )^{2}\geq3.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{\sqrt{(1+b^{2})(1+c^{2})}}$
$\geq6.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{2+b^{2}+c^{2}}=6.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{5-a^{2}}= 6.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{6-(1+a^{2})}$
$\geq 6.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{6-2a}=3.\sum \frac{a^{3}b^{3}}{3-a}\geq 3.\frac{\left ( \sum ab\sqrt{ab} \right )^{2}}{9-\sum a}$
$\geq 3.\frac{9}{9-3}=\frac{9}{2}$
$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leduylinh1998: 07-01-2014 - 00:14
- hoctrocuanewton yêu thích
#4
Đã gửi 07-01-2014 - 00:10
Cho a,b,c>0 và $a^2+b^2+c^2=3$ . Tìm GTNN $P=\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{1+a^2}}$
Áp dụng BĐT Holder ta có ngay
$P^2.(1+b^2+1+c^2+1+a^2)\geqslant (a^2+b^2+c^2)^3$
Thay $a^2+b^2+c^2=3$ vào ta có $P\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Ta có: Từ abc=1
Chỗ này là sao ?
- Phuong Thu Quoc và leduylinh1998 thích
#5
Đã gửi 07-01-2014 - 00:12
Xin lỗi mình học văn hơi kém. Đã fix
#6
Đã gửi 07-01-2014 - 11:36
ta có
$\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{1+b^{2}}}=\sum \frac{2\sqrt{2}a^{4}}{2\sqrt{2}a\sqrt{1+b^{2}}}\geq \sum \frac{2\sqrt{2}a^{4}}{2a^{2}+b^{2}+1}$
áp dụng bđt schwars và áp dụng đk của đề bài ta có
$\sum \frac{2\sqrt{2}a^{4}}{2a^{2}+b^{2}+1}\geq \frac{2\sqrt{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= \frac{2\sqrt{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 07-01-2014 - 11:37
- VNSTaipro và leduylinh1998 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh