1 reply to this topic

[Binh Le]

 

$Cho$ $x,y,z> 0$ 

$Cmr$ $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{z(x+y)}{y(y+z)}+\frac{x(z+y)}{z(x+z)}+\frac{y(x+z)}{x(x+y)}$

 

 

 

Edited by Binh Le, 13-01-2014 - 22:47.

[pcfamily]

 

 

 

Xét $\frac{x}{y}-\frac{z(x+y)}{y(y+z)}=\frac{xy+xz-xz-zy}{y(y+z)}=\frac{x-z}{y+z}$

Tương tự, bđt tương đương:

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{x+y}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$

 nên $\frac{1}{y+z}\geq \frac{1}{z+x}\geq \frac{1}{x+y}$

Áp dụng bất đẳng thức hoán vị có ĐPCM.

Edited by pcfamily, 14-01-2014 - 11:43.