Chủ đề này có 1 trả lời

[TranLeQuyen]

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3a và $\angle ABD=30^0$, AC cắt BD tại O. Cho G là trọng tâm của tam giác AOD, AG cắt CD tại M, Đường tròn tâm E nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc BD tại F, tiếp xúc CD tại L, FL cắt AC tại H. Chứng minh tam giácFOE vuông cân và tính MH theo a.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TranLeQuyen: 14-01-2014 - 09:40

[bachhammer]

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3a và $\angle ABD=30^0$, AC cắt BD tại O. Cho G là trọng tâm của tam giác AOD, AG cắt CD tại M, Đường tròn tâm E nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc BD tại F, tiếp xúc CD tại L, FL cắt AC tại H. Chứng minh tam giácFOE vuông cân và tính MH theo a.

a) Ta gọi P là điểm tiếp xúc giữa (E) với BC. Khi đó do góc ABD bằng 30 nên dễ cm được tam giác BOC đều, từ đó dễ cm hai tam EFO và tam giác EPO. Nhưng ta cũng dễ thấy EPO là tam giác vuông cân nên từ đó suy ra đpcm.

b) Có lẽ nên áp dụng định lí cosin là ý tưởng dễ nhận thấy nhất (theo quan điểm của mình): $MH^{2}=HC^{2}+MC^{2}-2MH.MC.cos30$.

Áp dụng định lí Ceva trong tam giác ODC ứng với bộ điểm F, H, L ta có: $\frac{FO}{FD}.\frac{LD}{LC}.\frac{HC}{HO}=1\Leftrightarrow HC=HO$ (do LC = CP = OF và DF = DL), suy ra HC = 1/2 OC = 1/4 AC.

Áp dụng các kiến thức lượng giác ta hoàn toàn có thể tính được DM và HC theo a. Từ đó tinh được MH.