Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O,R). Dựng tam giác AMN đều sao cho N không nằm trong (O), M nằm trong tam giác ABC, $\angle ABM\ge\angle\frac{\angle ABC}2$ và B,N thuộc hai nữa mặt phẳng bờ AC. Tia BM cắt CN tại I.
a) Chứng minh BM=CN và (O) qua I,
b) Cm IA+IC=IB,
c) BI cắt AC ở P, IA cắt MN ở Q. Cm
$$\frac 1{IP}=\frac 1{IA}+\frac 1{IC}. $$
Tìm vị trí M để IP có độ dài lớn nhất và IQ có độ dài nhỏ nhất.