Chủ đề này có 1 trả lời

[buomdem]

Cho $a, b, c\geq 0$ thoả mãn $a+b+c=5$. Chứng minh rằng:

$$a^2b+c^2a+2abc\leq 20$$

[VNSTaipro]

Cho $a, b, c\geq 0$ thoả mãn $a+b+c=5$. Chứng minh rằng:

$$a^2b+c^2a+2abc\leq 20$$

$VT=a^2b+c^2a+2abc+bc^2-bc^2$

$=b(a+c)^2+c^2(a-b)$

$TH1$ $a\leq b \Rightarrow VT\leq b(a+c)^2=\frac{1}{2}2b(a+c)(a+c)\leq \frac{1}{2}(\frac{2(a+b+c)}{3})^{3}<20$ 

$TH2$ $a\geq b\geq 0 \Rightarrow VT=b(a+c)^2+c^2(a-b)=b(5-b)^{2}+4.\frac{c}{2}.\frac{c}{2}(a-b)$

$\leq b(5-b)^2+4(\frac{c+a-b}{3})^{3}$

$=b(5-b)^2+4(\frac{5-2b}{3})^{3}$

Đến đây xét hàm theo $b$ với $0\leq b\leq \frac{5}{2}$ thì tìm được $GTLN$ khi $b=1$ thì $VT= 20$

Vậy dấu $=$ xảy ra khi $a=2, b=1, c=2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 23-01-2014 - 17:41