5 replies to this topic

[ongngua97]

Cho a,b,c>0 thoả abc=1

 

Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a^2+b^2+c^2$

[hoctrocuanewton]

áp dụng bđt AM-GM ta có  : $\frac{a^{2}}{b}+a^{2}b\geq 2a^{2}$

chứng minh  ta có  : $\sum \frac{a^{2}}{b}+\sum a^{2}b\geq \sum 2a^{2}$

 ta chỉ cần chứng minh :  $\sum a^{2}b\leq \sum a^{2}$ (1)

ta có

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (2)

giả sử (1) đúng , từ (1)(2) suy ra

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

$\Rightarrow \sum a^{3}+\sum ab^{2}\geq 2\sum a^{2}b$ (3)

mà ta có

áp dụng bđt AM-GM 

$a^{3}+ ab^{2}\geq 2 a^{2}b$

 chứng minh tương tự suy ra (3) đúng

do (3) đúng nên suy ra (1) đúng

vậy được đpcm

Edited by hoctrocuanewton, 17-01-2014 - 21:38.

[ongngua97]

áp dụng bđt AM-GM ta có  : $\frac{a^{2}}{b}+a^{2}b\geq 2a^{2}$

chứng minh  ta có  : $\sum \frac{a^{2}}{b}+\sum a^{2}b\geq \sum 2a^{2}$

 ta chỉ cần chứng minh :  $\sum a^{2}b\leq \sum a^{2}$ (1)

ta có

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (2)

giả sử (1) đúng , từ (1)(2) suy ra

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

$\Rightarrow \sum a^{3}+\sum ab^{2}\geq 2\sum a^{2}b$ (3)

mà ta có

áp dụng bđt AM-GM 

$a^{3}+ ab^{2}\geq 2 a^{2}b$

 chứng minh tương tự suy ra (3) đúng

do (3) đúng nên suy ra (1) đúng

vậy được đpcm

Cách chứng minh của em là không đúng, pp của em có lẽ là biến đổi tương đương để được bđt đúng nhưng khi nhân (2) với (3) là mệnh đề kéo theo chứ k phải tương đương.

[leduylinh1998]

Cho a,b,c>0 thoả abc=1

 

Chứng minh rằng : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a^2+b^2+c^2$

Mình làm thế này không biết có đúng không, nhờ các bạn xem giùm.

Ta có:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b$   vì abc=1

Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & \\ ab\geq bc\geq ca & \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:

$3(a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b)\geq (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Edited by leduylinh1998, 17-01-2014 - 22:22.

[ongngua97]

Mình làm thế này không biết có đúng không, nhờ các bạn xem giùm.

Ta có:

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b$   vì abc=1

Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & \\ ab\geq bc\geq ca & \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:

$3(a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b)\geq (ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Không đúng vì không thể giả sử $a\geq b\geq c$ vì BĐT trên hoán vị chứ không đối xứng.

[tienthcsln]

Cho $a=2;b=0,01;c=50$