Chủ đề này có 3 trả lời

[hihi2zz]

Tính tích phân: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{2+\cos x}$

[nguyenbahiep1]

Tính tích phân: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{2+\cos x}$

 

$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{2+\frac{1-tan^2(\frac{x}{2})}{1+tan^2(\frac{x}{2})}} \\ \\  I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+tan^2(\frac{x}{2}))dx}{3+tan^2(\frac{x}{2})} \\ \\ u = tan(\frac{x}{2}) \Rightarrow 2du = (1+tan^2(\frac{x}{2}))dx \\ \\ \Rightarrow I = \int_0^1 \frac{2du}{3+u^2} \\ \\  u = \sqrt{3}.tant \Rightarrow du = \sqrt{3}(1+tan^2t)dt \\ \\ I =  \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{2\sqrt{3}.(1+tan^2t)dt}{3(1+tan^2t)} =  \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{2\sqrt{3}}{3}dt = ?$

[Mrnhan]

Tính tích phân: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{2+\cos x}$

 

Giải:

 

$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2+\cos x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+2\cos^2\frac{x}{2}}dx$$

 

$$=2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{3+\tan^2x}\frac{1}{\cos^2x}dx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{3+\tan^2x}d\left ( \tan x \right )$$

 

$$=\left [ \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{\tan x}{\sqrt{3}} \right ]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$

 

$$=\fbox{$\frac{\sqrt{3}\pi}{9}$}$$

 

 

Nguyên hàm:

 

$$I=\int\frac{1}{2+\cos x}dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{3}}+\text{C}$$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 18-01-2014 - 12:46

[Dahitotn94]

Đặt t = tan$\frac{x}{2}$  $\Rightarrow dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$ và $cosx=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

 

Suy ra $I=\int_{0}^{1}\frac{1}{2+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\cdot \frac{2}{1+t^{2}}\cdot dt=\int_{0}^{1}\frac{2}{3+t^{2}}\cdot dt$

       

       $I=2\int_{0}^{1}\frac{1}{\left ( \sqrt{3} \right )^{2}+x^{2}}dt$

 

Đặt $t=\sqrt{3}tanu$ 

Thế vào và tính tiếp nhé