THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÂP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2013 - 2014
Ngày 18 tháng 01 năm 2014
Đề 1 : ( 8h - 9h30 )
Câu 1 :
So sánh $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$ và $\frac{3}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}+\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$
Câu 2 :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng :
$(d_{1}):y=x+2;(d_2)y=\frac{-3}{2}x+\frac{9}{2}$
$(d_1);(d_2)$ cắt trục $Ox$ lần lượt tại $B;C$. Gọi $A$ là giao điểm của $(d_1);(d_2)$. Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho tứ giác $ABCM$ là hình bình hành
Câu 3 :
Cho 3 số $a;b;c$ thỏa : $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^2+c^2=1 & \\ a^3+b^3+c^3=1 & \end{matrix}\right.$
Tính : $S=a+b^2+c^2$
Câu 4 :
Cho $a+b=1$. Tìm $GTNN$ của $Q=a^3+b^3+ab$
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD;BE;CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $D;E;F;M$ cùng thuộc 1 đường tròn.
Đề 2 : ( 10h15 - 11h45 )
Câu 1 :
Cho biểu thức :
$P=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}-4\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}$
a) Tìm điều kiện để $P$ có nghĩa ?
b) Khi $P$ có nghĩa, chứng tỏ $P$ khong phụ thuộc vào $x$
Câu 2 :
Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}-3(x+y)+2=0 & \\ x-y-5=0 & \end{matrix}\right.$
Câu 3 :
Biết $ax+by+cz=0$ hãy tính giá trị biểu thức
$P=\frac{bc(y-z)^{2}+ca(z-x)^2+ab(x-y)^{2}}{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}$
Câu 4 :
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
$\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$
Câu 5 :
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$. Trên tia $AB$ lấy $D$ sao cho $AD=3AB$. Tia $Dy$ vuong góc với $DC$ tại $D$ cắt tiếp tuyến $Ax$ của đường tròn $(O)$ tại $E$. Chứng minh : $BE=DE$