Chủ đề này có 3 trả lời

[quanghao98]

Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=xyz$.Chứng minh rằng:

 

P=$\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+xz}+\dfrac{z}{z^2+xy}\leq \dfrac{1}{2}$

[hoctrocuanewton]

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{x}{x^{2}+yz}\leq \sum \frac{1}{4x}+\sum \frac{x}{4yz}=\sum \frac{x}{4yz}+\frac{xy+yz+xz}{4xyz}$ (1)

từ điều kiện bài toán ta suy ra

$\left\{\begin{matrix} \sum \frac{x}{yz}=1\\ xy+yz+xz\leq xyz \end{matrix}\right.$ (2)

từ (1)(2) ta được đpcm

[duaconcuachua98]

Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=xyz$.Chứng minh rằng:

 

P=$\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+xz}+\dfrac{z}{z^2+xy}\leq \dfrac{1}{2}$

$\sum \frac{x}{x^{2}+yz}\leq\frac{1}{2} \sum \frac{1}{\sqrt{yz}}= \frac{1}{2}\sum \frac{\sum \sqrt{x}}{\sqrt{xyz}}= \frac{1}{2}\sum \frac{\sum x}{\sqrt{\sum x^{2}}}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{\sqrt{3}\sum \sqrt{x}}{\sum x}\leq \frac{1}{2}$

[Hoang Tung 126]

Ta có :$P=\sum \frac{x}{x^2+yz}\leq \sum \frac{x}{2x\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{yz}}\leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{x})=\frac{\sum xy}{2xyz}\leq \frac{\sum x^2}{2xyz}=\frac{1}{2}$