Chủ đề này có 2 trả lời

[Trang Luong]

Cho $a,b,c\geq 1.$ Chứng minh rằng : $\sum \frac{1}{1+a}\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}$

[Vu Thuy Linh]

Áp dụng BĐT $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

=> VT $\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt{ab}}=\sum \frac{1}{\sqrt[4]{a^{2}b^{2}}+1}\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^{3}}}$

( ta có $ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$ nên BĐT đúng)

[nguyentrungphuc26041999]

Áp dụng BĐT $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

=> VT $\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt{ab}}=\sum \frac{1}{\sqrt[4]{a^{2}b^{2}}+1}\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^{3}}}$

( ta có $ab^{3}+bc^{3}+ca^{3}\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$ nên BĐT đúng)

chỗ này không ổn lắm 

mình nghĩ là thế này

sử dụng bất đẳng thức $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

ta có 

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{2}{1+a}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{1+\sqrt{a^{2}}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{a^{3}b}}$

thiết lập các bất đẳng thức tương tự cộng lại ta được điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 19-01-2014 - 21:53